理论力学课后习题详解-第8章-刚体的平面运动
34页1、 105图 9-1 图 9-2 第第9章 刚体的平面运动章 刚体的平面运动 9-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动,曲柄以角速度0绕轴 O 匀速转动,如图 9-1 所示。如 OC=BC=AC=r,并取 C 为基点,求椭圆规尺 AB 的平 面运动方程。 解解 取 C 为基点。 将规尺的平面运动分解为随基点的 平移和绕基点的转动。因为 rACBCOC= 所以 CBOCOB= 设此角为,则 t0= 故规尺 AB 的平面运动方程为 trxC0cos=,tryC0sin=,t0= 9-2 如图 9-2 所示,圆柱 A 缠以细绳,绳的 B 端固定在天花板上。圆柱自静止落下,其轴心的速度为ghv332=,其中 g 为常量,h 为圆柱轴心到初始位置的距离。如圆柱半径为 r,求圆柱的平面运动方程。 解解 以点 A 为基点,将圆柱的平面运动分解为随基点 A 的平移和绕基点 A 的转动。 先求基点 A 的方程。图示坐标系中, hyxAA= , 0 ghvth332 dd= 改写为 tghhd332d= 上式积分 =httgh00d332hd得 2 31gthyA= 依题意,有 2 31gtrrhA= 故
2、圆柱的平面运动方程为 =2231310gtrgtyxAAA9-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动,沿半径为 R 的固定齿轮滚动,如图 9-3a 所示。 如曲柄 OA 以等角加速度绕轴 O 转动,当运动开始时,角速度00=,转角00=。求动齿轮以中心 A 为基点的平面运动方程。 106 解解 动齿轮的平面运动可分解为以 A 为基点的平移和绕点 A 的转动。在图 9-3 所示坐 标系中, yyxxAOM0MNRCr(a) (b) 图 9-3 点 A 的坐标为 cos)(rRxA+= (1) sin)(rRyA+= (2) 因是常数,且当0=t时,000= 故 2 2t= 设小轮上开始时啮合点为 M,则 AM 起始位置为水平。设任 1 时刻 AM 绕 A 的转角为A, 由图可见, NAMA=,且+=A因动齿轮作纯滚动,故有弧CMCM=0,即 rR= ,rR= 得 rrRA+= (3) 以2 21t=代入式(1) 、 (2) 、 (3) ,得动齿轮的平面运动方程为 2 2cos)(trRxA+= 2 2sin)(trRyA+= 2)( 21atrrRA+= 9-4 杆 AB 的 A 端沿
3、水平线以等速v运动,运动时杆恒与 1 半圆周相切于点 C,半圆周 的半径为 R,如图 9-4a 所示,如杆与水平线间的交角为,试以角表示杆的角速度。 BAAvAvCvR ACvC(a) (b) 图 9-4 解解 以 A 为基点,研究杆 AB 上与半圆周的切点 C 的运动,点 C 速度分析如图 9-4b。 图中 107vvA=,sinsinvvvACA= (1) =tanRACvCA (2) 解式(1)(2)得 cossin2Rv=(逆) 9-5 如图 9-5a 所示,在筛动机构中,筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄 OA 的转速min/ r40=OAn,m 3 . 0=OA。当筛子 BC 运动到与点 O 在同一水平线上时, =90BAO。求此瞬时筛子 BC 的速度。 BvAvBCO6060A(a) (b) 图 9-5 解解 筛子 BC 作平移,如图 9-5b 所示的位置,Bv与 CBO 夹角为 30,与 AB 夹角为 60。且 m/s 40. 030. 03040=OAvA 由速度投影定理 ABBABAvv)()(= 得(图 9-5b) =60cosBAvv m/s 2.518
4、. 060cos=A BBCvvv 9-6 四连杆机构中, 连杆 AB 上固结 1 块三角板 ABD, 如图 9-6a 所示。 机构由曲柄AO1带动。已知曲柄的角速度rad/s 2 1=AO;曲柄m 1 . 01=AO,水平距离m 05. 021=OO,m 05. 0=AD; 当AO1铅直时, AB 平行于21OO, 且 AD 与1AO在同 1 直线上; 角= 30。 求三角板 ABD 的角速度和点 D 的速度。 BvDvAvAO1ABPAB 1OD2O(a) (b) 图 9-6 解解 三角板 ABD 作平面运动,在图 9-6 所示位置的速度瞬心在点 P,设三角板角速度 为AB,由题意得 ABAOAPAAOv= 11由几何关系 m 305. 010. 030cot21111+=+=+=OOAOPOAOPA 108把 PA 值代入上式,得 rad/s 07. 1305. 010. 0210. 011=+=AOABPAAO(逆) 于是有 m/s 253. 007. 1)305. 010. 005. 0()(=+=+=ABABDPAADPDv() 9-7 图 9-7a 所示双曲柄连杆机构的滑
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