理论力学课后习题详解-第8章-刚体的平面运动

105图 9-1 图 9-2 第第9章 刚体的平面运动章 刚体的平面运动 9-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动，曲柄以角速度0绕轴 O 匀速转动，如图 9-1 所示。如 OC=BC=AC=r，并取 C 为基点，求椭圆规尺 AB 的平 面运动方程。 解解 取 C 为基点。 将规尺的平面运动分解为随基点的 平移和绕基点的转动。因为 rACBCOC= 所以 CBOCOB= 设此角为，则 t0= 故规尺 AB 的平面运动方程为 trxC0cos=，tryC0sin=，t0= 9-2 如图 9-2 所示，圆柱 A 缠以细绳，绳的 B 端固定在天花板上。圆柱自静止落下，其轴心的速度为ghv332=，其中 g 为常量，h 为圆柱轴心到初始位置的距离。如圆柱半径为 r，求圆柱的平面运动方程。 解解 以点 A 为基点，将圆柱的平面运动分解为随基点 A 的平移和绕基点 A 的转动。 先求基点 A 的方程。图示坐标系中， hyxAA= , 0 ghvth332 dd= 改写为 tghhd332d= 上式积分 =httgh00d332hd得 2 31gthyA= 依题意，有 2 31gtrrhA= 故圆柱的平面运动方程为 =2231310gtrgtyxAAA9-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动，如图 9-3a 所示。 如曲柄 OA 以等角加速度绕轴 O 转动，当运动开始时，角速度00=，转角00=。求动齿轮以中心 A 为基点的平面运动方程。 106 解解 动齿轮的平面运动可分解为以 A 为基点的平移和绕点 A 的转动。在图 9-3 所示坐 标系中， yyxxAOM0MNRCr(a) (b) 图 9-3 点 A 的坐标为 cos)(rRxA+= （1） sin)(rRyA+= （2） 因是常数，且当0=t时，000= 故 2 2t= 设小轮上开始时啮合点为 M，则 AM 起始位置为水平。设任 1 时刻 AM 绕 A 的转角为A， 由图可见， NAMA=，且+=A因动齿轮作纯滚动，故有弧CMCM=0，即 rR= ，rR= 得 rrRA+= （3） 以2 21t=代入式（1） 、 （2） 、 （3） ，得动齿轮的平面运动方程为 2 2cos)(trRxA+= 2 2sin)(trRyA+= 2)( 21atrrRA+= 9-4 杆 AB 的 A 端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与 1 半圆周相切于点 C，半圆周 的半径为 R，如图 9-4a 所示，如杆与水平线间的交角为，试以角表示杆的角速度。 BAAvAvCvR ACvC(a) (b) 图 9-4 解解 以 A 为基点，研究杆 AB 上与半圆周的切点 C 的运动，点 C 速度分析如图 9-4b。 图中 107vvA=，sinsinvvvACA= （1） =tanRACvCA （2） 解式（1）（2）得 cossin2Rv=（逆） 9-5 如图 9-5a 所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄 OA 的转速min/ r40=OAn，m 3 . 0=OA。当筛子 BC 运动到与点 O 在同一水平线上时， °=90BAO。求此瞬时筛子 BC 的速度。 BvAvBCO°60°60A(a) (b) 图 9-5 解解 筛子 BC 作平移，如图 9-5b 所示的位置，Bv与 CBO 夹角为 30°，与 AB 夹角为 60°。且 m/s 40. 030. 03040=××=OAvA 由速度投影定理 ABBABAvv)()(= 得（图 9-5b） °=60cosBAvv m/s 2.518 . 060cos=°=A BBCvvv 9-6 四连杆机构中， 连杆 AB 上固结 1 块三角板 ABD， 如图 9-6a 所示。 机构由曲柄AO1带动。已知曲柄的角速度rad/s 2 1=AO；曲柄m 1 . 01=AO，水平距离m 05. 021=OO，m 05. 0=AD； 当AO1铅直时， AB 平行于21OO， 且 AD 与1AO在同 1 直线上； 角°= 30。 求三角板 ABD 的角速度和点 D 的速度。 BvDvAvAO1ABPAB 1OD2O(a) (b) 图 9-6 解解 三角板 ABD 作平面运动，在图 9-6 所示位置的速度瞬心在点 P，设三角板角速度 为AB，由题意得 ABAOAPAAOv= 11由几何关系 m 305. 010. 030cot21111+=°+=+=OOAOPOAOPA 108把 PA 值代入上式，得 rad/s 07. 1305. 010. 0210. 011=+×=AOABPAAO（逆） 于是有 m/s 253. 007. 1)305. 010. 005. 0()(=×+=+=ABABDPAADPDv（） 9-7 图 9-7a 所示双曲柄连杆机构的滑块 B 和 E 用杆 BE 连接。主动曲柄 OA 和从动曲 柄 OD 都绕 O 轴转动。主动曲柄 OA 以等角速度rad/s 120=转动。已知机构的尺寸为：OA=0.1m，OD=0.12 m，AB=0.26 m，BE=0.12 m，m 312. 0=DE。求当曲柄 OA 垂直于 滑块的导轨方向时，从动曲柄 OD 和连杆 DE 的角速度。 AvAODvBEBvEvOODDEPAD(a) (b) 图 9-7 解解 当 OA 垂直 EB 时，BAvv/，杆 AB 作瞬时平移，故 BAvv= 杆 BE 作水平直线平移，所以 BEvv= 故 m/s 20. 10=OAvvvEBA由于ODvD，平面运动杆 DE 的速度瞬心应在Dv，Ev的垂线的交点 P。由几何关系 m 12. 022=EBOAABEBOBOE m 12. 0= ODOE，=ODEDEO， 232/cos =OEDE， °=30 由速度投影定理得 coscosEDvv= 而 °=90， sincos= m/s 320. 1tan=E Dvv rad/s 32.17310=ODvDOD （逆） 由几何关系知 m 312. 02tantan=OEEOPOEPE rad/s 77. 53310=PEvEDE（逆） 9-8 图 9-8a 所示机构中，已知：m 1 . 0=DEBDOA，m 31 . 0=EP；109F rad/s 4=OA。在图 9-8a 所示位置时，曲柄 OA 与水平线 OB 垂直；且 B，D 和 F 在同 1铅直线上，又 DE 垂直于 EF。求杆 EF 的角速度和点 F 的速度。 AOACBEvEDFvFEFPAvBvCv(a) (b) 图 9-8 解解 机构中，杆 AB，BC 和 EF 作平面运动，曲柄 OA 和三角块 CDE 作定轴转动，而 滑块 B，F 作平移。此时杆 AB 上Av，Bv均沿水平方向如图 9-8b 所示，所以杆 AB 作瞬时 平移。 m/s 40. 0=OAABOAvv DCCv，DBBv，杆 BC 的速度瞬心在点 D，故 BCvDBDCv= m/s 40. 0=BC EvDBDE DCvDEv（方向沿杆 EF 如图 9-8b） 由速度投影定理得 EFvv=cos 由几何关系知，在DEF 中， 23cos=，21sin= m/s 462. 0cos=E Fvv（） 杆 EF 的速度瞬心在点 P ： rad/s 33. 1sin sin/=EFv EFv PFvFFF EF （顺） 9-9 图 9-9a 所示配汽机构中， 曲柄 OA 的角速度rad/s 20=为常量。 已知 OA=0.4 m，AC=BC=372 . 0m。求当曲柄 OA 在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆 DE 的速度。 AAv CCvBBvDEO°90AvACCvBDvDOE(a) (b) (c) 图 9-9 解解 图 9-9 所示杆 AB，CD 作平面运动。 110（1）当°= 90、270°时，曲柄 OA 处于铅垂位置，图 9-9b 表示°= 90时，Av、Bv均沿水平方向，则杆 AB 作瞬时平移，BAvv=，Cv也沿水平方向，而杆 CD 上的点 D 速度（即推杆 DE 的平移速度）DEv应沿铅垂方向，故杆 CD 的速度瞬心在点 D。可见此时， 0=DEv （2）当°= 0、°180时，杆 AB 的速度瞬心在点 B，即0=Bv。而Av，Cv均沿铅垂方向，杆 CD 上Cv，DEv均沿铅垂方向，杆 CD 此时作瞬时平移，CDEvv=。图 9-9c 表示 °=0的情形。因 m/s 00. 421=ACvv 故 m/s 00. 4=DEv 因此当°=0时， m/s 00. 4=DEv （） 同理当°=180时，m/s 00. 4=DEv （） 9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆AO1绕轴1O转动，并借连杆 AB 带动曲柄 OB； 而曲柄 OB 活动地装置在轴 O 上，如图 9-10a 所示。在轴 O 上装有齿轮 I，齿轮 II 与连杆AB 固结于一体。已知：m 33 . 021= rr，m 75. 01=AO，m 5 . 1=AB；又平衡杆的角速度rad/s 6 1=O。求当°=60且°=90时，曲柄 OB 和齿轮 I 的角速度。 AvBvCv1O1O1O1rII I2rOBPBABA(a) (b) 图 9-10 解解 连杆 AB 作平面运动， 其它构件作定轴转动， 如图 9-10b 所示AOA1v，OBBv，故连杆AB的速度瞬心在AO1和BO延长线的交点P。 设轮I与轮II的啮合点为C。 此时ABP 为直角三角形，°=60，由几何关系知： m 00. 3cos=ABPA，m 350. 160tan=°= ABPB m 32 . 12=rPBPC 故 rad/s 5 . 111=PAAOPAvOA AB m/s 325. 2=ABBPBv，m/s 38 . 1=ABCPCv 曲柄 OB 的角速度 rad/s 75. 321=+=rrv OBvBB OB（逆） 齿轮 I 的角速度 111rad/s 61I=rvC（逆） 9-11 使砂轮高速转动的装置如图 9-11a 所示。 杆21OO绕1O轴转动， 转速为4n。2O处用铰链接 1 半径为2r的活动齿轮 II，杆21OO转动时轮 II 在半径为3r的固定内齿轮上滚动，并使半径为1r的轮 I 绕1O轴转动。轮 I 上装有砂轮，随同轮 I 高速转动。已知1113=rr，r/min 9004=n，求砂轮的转速。 I II1r2O1O14VI2rIII22OvPCCv3r(a) (b) 图 9-11 解解 轮 II 作纯滚动，其速度瞬心在点 P，如图 9-11b 所示。 421421)( 2rrOOvO+= 22222rPOvO=， 4 221 2rrr += 轮 II 与