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41整数的一些整除性质

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1、第4章多项式4.1整数的一些整除性质教学内容：4.1整数的一些整除性质教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性质授课时数：2学时教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因数存在定理教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明）教学过程：一、整数的整除1、整除的定义定义1 设是两个整数。如果存在一个整数使得，则称整除，或称被整除，记作，也说是b的因数，是的倍数。如果对任意整数，都有,则称不整除，记作。注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论带来方便，这是研究方法上的一个进步。例1 2、整除与除法的区别除法中不能用0作除数；由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。二整除的基本性质根据定义，容易推出整除的基本性质：1）若,则。2）若,则.。3）若,则。4）若，,对任意,则有。* 4）是2、3）的推广5）对于任意整数有，。6）若且，则。6）的证明：按定义，存在整数，使得且。将代入，有。若，则；若，则由消去律得，因此，于是。例2 若，且，则。证由，知所以由此及得，即，从而，于是，故。例设,已知,求证.分析：因

2、为，且已知，即可证得结论。三带余除法1、带余除法定理定理4.1.1 (带余除法) 设，则存在，使得成立，而且是唯一的。分析：1、考察整数的递增序列：利用数轴直观理解必落在某个长度为的小区间中，存在使得；2、对分大于零和小于零两种情形讨论；3、唯一性证明，注意。证先证存在性，并考察整数的递增序列：则一定位于序列某相邻两项之间，即存在，使。所以，取则。再证唯一性。若，则若，则，而，矛盾，所以，故。（证毕）2、余数与商定理4.1.1中，称为被除所得的商，称为被除所得的余数。注：余数是满足等式且为最小的整数，余数是非负的整数。推论11）若，则只能整除；2）若，则的充分必要条件是除所得的余数。例3 课堂练习设a被7除余3，a被5除余4，求a 被35除的余数。（利用带余除法得等式.，变形出现系数35，再变形证之）例3 ，则；，则。四最大公因数1、公因数与最大公因数定义2 设，满足下列条件的整数叫做和的一个最大公因数：1）；2）若且，则注：中小学中的定义是：两整数的公因数中的最大者称为最大公因数，与现在定义有所不同。中小学中两个整数的最大公因数是唯一的，而按现在的定义，是最大公因数，则也是

3、。和在小学中没有最大公因数。而按现在定义，它们有最大公因数。所以这里的定义蕴含了小学及中学的定义；“最大性”由定义2中的条件2）体现出来。由于两个整数的最大公因数不一定唯一。所以我们约定，用表示的那个非负的最大公因数。2、最大公因数的存在性引理1 设为任意两个不全为零的整数,且,则与和与有相同的公因数，因而有相同的最大公因数，且。定理4.1.2 任意两个整数都有最大公因数。分析及证明要点：分及不全为零两种情形；利用辗转相除及引理带余除法；最后一次不为零的余数即为所求。证，则（）.假设不全为零,不妨设由带余除法,存在惟一的,使得若则,从而()=.若再由带余除法,存在惟一的,使得若,则,由引理1知,。若，则又可用去除得如此继续进行下去，因为而是一个有限正整数，所以这一过程不可能无止境，最后必有一个余数，使，这样可得由引理1可知。（证毕）3、辗转相除法Th4.1.4给出的方法称为辗转相除法：反复用带余除法，最后一个不为零碎的余数，就是那个要求的非负的最大公因数。例4 求（253，207）4、最大公因数的一个重要的表达式定理4.1.3 设是的一个最大公因数，则存在整数使得。

4、证不妨设。由（1）可知，。于是由其中倒数第二式，得，再利用倒数第三式，得，再将此式代入上式，这样一步一步往前代入，最后可得。（证毕）注意：Th.4.1.3的逆不成立，这点学生在应用时，经常发生错误5整数的互素（1）、定义定义3 设。若，则称互素。反之，若（或），则称不互素。例4 不互素，而互素。（2)、判定定理4.1.6 整数互素的充分必要条件是：存在,使得。（3）、互素的性质1) 若，且,则。证因为，所以存在,使得，于是。由，得。2) 若，则。证因为所以。但，故，从而有，使得，于是，即。3) 若，则。(另给一证法)证设，则。困为，所以，从而，但，于是。另一证法因为，所以存在使得，两式相乘，整理，再用定理4，即得证。五最大公因数的推广最大公因数概念的推广互素概念的推广互素与两两互素两两互素互素，反之不然六素数与合数1、素数的定义定义4 一个大于1的整数，如果只有两个正因数，则称是一个素数。否则称是一个合数。2、素数的简单性质1）设是一个素数,则对任意整数,有或。证因为由知或。当时，则有。2）)设是一个素数，且为整数。若，则或。证若，则由1）知，但，所以。3）任意且，则除去外的最小正因数为一素数：当为合数时，。证假设不是一个素数，则按定义除外还有正因数。但，于是，这与是除去外的最小正因数矛盾，故是素数。当是合数时，设，则，否则是素数。由之定义，于是，故。3、求素数的筛选法幼拉脱斯大林展纳（Eratosthenes）法：首先，划去，第一个留下的为，这是一个素数。其次，从起每隔一位划去一数，这样恰好划去的所有倍数。留下的第一个为，它不是的倍数，因而是素数。再次，从起每隔位划去一数，这样恰好划去的所有倍数。如此继续下去，所划掉的都是合数，每次留下的第一个数都是素数。利用3）可以简化计算。例求20以内的所有素数。解由于3），不超过20的合数的最小素因数总不会超过，筛选的时候，只须划到3。筛选的过程如下：。以上数字剩下的都是素数。即不超过20的合数要么是2的倍数，要么是3的倍数。4、算术基本定理定理4.1.5 任何大于1的整数，都可唯一地分解成有限个素数的乘积：其中是素数，且。作业：P126，17题

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