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2020高中数学北师大版必修四教学案：第一章 167;8 第2课时函数y＝Asinωx＋φ的性质 Word版含答案

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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第2课时函数yAsin(x)的性质核心必知函数yAsin(x)(A0，0)的性质定义域(，)值域A，A周期T奇偶性由角的值决定单调性增区间：由2kx2k(kZ)求得；减区间：由2kx2k(kZ)求得对称轴由方程xk(kZ)解得对称中心由xk(kZ)求得中心横坐标问题思考1函数ysin(2x)的周期是多少？提示：，因为sin(2x)sin 2x，所以ysin(2x)与ysin 2x的周期相同2函数yAsin(x)的对称中心和对称轴各有什么特点？提示：对称中心为图像与x轴的交点；对称轴为过其图像最高点或最低点与x轴垂直的直线3ysin是偶函数吗？提示：因为sincos x，所以ysin是偶函数讲一讲1求下列函数的周期(1)ysin x；(2)ysin.尝试解答法一：(1)ysin xsin(x2)sin，此函数的周期为6.(2)ysin(2x)sin(2x2)sin，此函数的周期为法二：(1)T6.(2)T.求三角函数周期的方法方法一：公式法，利用函数yAsin(x)b或函数yAcos(x)b的周期公式T来求；方法二：定义法：满足等式f(xT)f(

2、x)的非零常数T为yf(x)的周期讲一讲2求函数y3sin()的单调增区间尝试解答y3sin3sin3sin()，由2k2k，kZ，得4kx4k，kZ.y3sin的单调递增区间为(kZ)求函数yAsin(x)(A0)的单调区间最基本的方法是“整体代换”(1)0时，解2kx2k(kZ)得单调递增区间，解2kx2k(kZ)得单调递减区间讲一讲3求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最值时的x的取值集合(1)y3sin(2x)；(2)y32sin(3x)尝试解答(1)当2x2k，kZ，即xk(kZ)时，ymax3，x的取值集合为.当2x2k，kZ，即xk(kZ)时，ymin3，x的取值集合为.(2)当3x2k(kZ)，即x(kZ)时，ymax5，x的取值集合为.当3x2k，kZ，即x，kZ时，ymin1，x的取值集合为.函数yAsin(x)(A0，0)的值域为A，A，分别在x2k和x2k，kZ处取得最小值A和最大值A，其实质是将x看作一个整体z，将问题转化为函数yAsin z的最小值和最大值问题练一练3已知函数f(x)2cos()，若x，求f(x)的最大值、最小值解：f(x)2cos()2c

3、os()由x，得.当0，即x时，f(x)max2.当，即x时，f(x)min.讲一讲4设函数f(x)Asin(x)，A0，0，取何值时，f(x)是奇函数尝试解答因为xR，要使f(x)为奇函数，需f(0)0，所以sin0，所以k，kZ.而当k时，f(x)Asin(xk)而f(x)Asinx与f(x)Asin x都是奇函数所以当k，kZ时，f(x)为奇函数f(x)Asin(x)的奇偶性：(1)k(kZ)时，f(x)为奇函数；(2)k(kZ)时，f(x)为偶函数；(3)为象限角时，f(x)为非奇非偶函数练一练4设函数f(x)Acos(x)，A0，0，为何值时，f(x)为偶函数？解：由f(x)f(x)得Acos(x)Acos(x)根据余弦函数的特点，xx2k，k，kZ.故k，kZ时，f(x)为偶函数已知函数f(x)2asin2ab的定义域是，值域是5，1，求a，b的值巧思题目中函数的定义域和值域已知，可以先在定义域下求出sin(2x)的范围，因为a的符号不确定，所以可以分a0，a0，0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图像的两条相邻的对称轴，则 ()A. B.C. D.解析：选A由于直线x

4、和x是函数f(x)sin(x)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T2，所以1，所以k(kZ)，又0，所以.4已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则()Af(x)在区间2，0上是增加的Bf(x)在区间3，上是增加的Cf(x)在区间3，5上是减少的Df(x)在区间4，6上是减少的解析：选Af(x)的最小正周期为6，当x时，f(x)有最大值，2k(kZ)，2k，.可得f(x)2sin在区间2，0上是增加的二、填空题5函数y2cos的周期为4(R)，则_解析：因为yAcos(x)的周期T，所以T4，即|，所以.答案：6函数y2sin(x)上的值域是_解析：x，x.1sin(x)，故y2，1答案：2，17已知方程sin(x)k在x0，上有两个解，则实数k的范围是_解：令y1sin(x)，y2k，在同一坐标系内作出它们的图像，(0x)，由图像可知，当1k时，直线y2k与曲线y1sin(x)在0x上有两个公共点，即当1k0，函数f(x)2sin x在上是增加的，则的取值范围是_解析：由x，得f(x)的一个递增区间为.由题设得.，0.答案：(0，三、解答题9设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)的图像的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调递增区间解：(1)直线x是函数yf(x)的图像的一条对称轴，sin1，k，kZ.0，0)是R上的偶函数，其图像关于点M(，0)对称，且在区间上是单调函数，求和的值解：f(x)在R上是偶函数，当x0时，f(x)取得最大值或最小值即sin1，得k，kZ，又0，.由图像关于M(，0)对称可知，sin()0，即k，kZ，解得k，kZ.又f(x)在上是单调函数，所以T，即，2，又0，当k1时，当k2时，2.

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