通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练五函数与导数文
14页1、大题专项练(五)函数与导数A组基础通关1.(2019安徽定远中学高三质检)已知函数f(x)=(x2-2x+2)ex-12ax2(aR).(1)当a=e时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当a-2时,f(x)2.(1)解当a=e时,f(x)=(x2-2x+2)ex-12ex2,所以f(x)=x2ex-ex=x(xex-e),讨论:当x0时,xex-e0;当0x1时,由函数y=xex为增函数,有xex-e0,有f(x)1时,由函数y=xex为增函数,有xex-e0,有f(x)0.综上,函数f(x)的增区间为(-,0),(1,+),减区间为(0,1).(2)证明当a-2时,有-12a1,所以-12ax2x2,所以f(x)(x2-2x+2)ex+x2.令g(x)=(x2-2x+2)ex+x2,则g(x)=x2ex+2x=x(xex+2).令h(x)=xex+2,有h(x)=(x+1)ex.令h(x)=0,得x=-1.分析知,函数h(x)的增区间为(-1,+),减区间为(-,-1).所以h(x)min=h(-1)=2-1e0.所以分析知,函数g(x)的增区间为(0,+),减区间为(-,0)
2、,所以g(x)min=g(0)=(02-20+2)e0+02=2,故当a-2时,f(x)2.2.在某次水下科研考查活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为v103+1(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为v2(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若cv15(c0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.解(1)由题意,得下潜用时60v(单位时间),用氧量为v103+160v=3v250+60v(升);水底作业时的用氧量为100.9=9(升);返回水面用时60v2=120v(单位时间),用氧量为120v1.5=180v(升),总用氧量y=3v250+240v+9(v0).(2)y=3v25-240v2=3(v3-2000)25v2,令y=0,得v=1032,当0v1032时,y1032时,y0,函数单调递增,当0c1032时,函数在(c,1032)上单调递减,
3、在(1032,15)上单调递增,当v=1032时总用氧量最少,当c1032时,y在c,15上单调递增,当v=c时总用氧量最少.综上,若0ce+2-1e.(1)解由定义域为(0,1)(1,+),f(x)=1x-a(x-1)2=x2-(a+2)x+1x(x-1)2,设h(x)=x2-(a+2)x+1,要使y=f(x)在(e,+)上有极值,则x2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,=(a+2)2-40,a0或ae,0x11eex2,又h(0)=1,只需h1e0,即1e2-(a+2)1e+1e+1e-2,联立可得ae+1e-2.即实数a的取值范围是e+1e-2,+.(2)证明由(1)知,当x(1,x2)时,f(x)0,f(x)单调递增,f(x)在(1,+)上有最小值f(x2),即t(1,+),都有f(t)f(x2),又当x(0,x1)时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(x1,1)时,f(x)e),设k(x)=lnx2+x-1x=2lnx+x-1x(xe),则k(x)=2x+1+1x20(xe),k(x)在(e,+)上单调递增,k(x)k(e)=2+e-1e,f(t)-f(s)
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