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谈谈函数方程思想优秀获奖科研论文

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常见问题

1、谈谈函数方程思想优秀获奖科研论文函数方程思想即函数与方程之间的转化思想，也就是将函数问题转化为方程的观点来解决，或者将方程问题转化为函数的思想来解决.这个思想方法既是全国各地高考命题的重点，又是热点，几乎每年高考数学试题中都会出现，因此，掌握好函数方程思想是十分必要的. 第一，常见如下三种类型的转化. （1）若a>f（x）（af（x）恒成立，则a>f（x）max（af（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则an）. 若a （2）设函数f（x）的定义域为D，若x1D，使a>f（x）（af（x）成立，则a>f（x）min（或af（x）min）（如果函数没有最小值，其值域是（m，n）则a>m）. 若x1D，使a （3）若方程a=f（x）有解，则a的取值范围为函数f（x）的值域. 第二，根据以上三点，有下列变式结论. （1）若对x1，x2D，|f（x1）-f（x2）|a成立，则af（x）max-f（x）max. （2）若x1D1，x2D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即AB.

2、（3）若x1D1，x2D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB. （4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2D，使得f（x1）g（x2）f（x）maxg（x）min. （5）若x1D1，x2D2，使得f（x1）g（x2）f（x）ming（x）min. 例1已知集合P=x|12x2|，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q. （1）若PQ，求实数a的取值范围；（2）若方程log2（ax2-2x+2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围；（3）若不等式log2（ax2-2x+2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围. 解：（1）由题意，不等式ax2-2x+2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x+2>0成立. 由ax2-2x+2>0，得a>-2（1x）2+21x. x12，2， 1x12，2. 函数y=-2（1x）2+21x-4，12. a>-4. （2）由题意，方程a=2x+2x2在区间12，2内有解，令x+1=t，则x=t-1，t32，3；则a=2x+2x2=2t+1t-2. 令y=t+1t，则y=1-1t2>0. y=t+1t在区间32，3上是增函数. 2t+1t-2 32，12，即a32，12. （3）由题意，a>2x+2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x+2x232，12，所以a>12. 例2设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x20，2，使g（x1）-g（x2）M成立，求满足条件的最大整数M. 解：由题意，Mg（x1）-g（x2）max=g（x）max-g（x）min即可. g（x）=3x2-2x=x（3x-2）， x（0，32）时，g（x）<0，g（x）递减；x（23，2）时，g（x）>0，g（x）递增. g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=maxg（0），g（2）=1. g（x）max-g（x）min=11227. 即M11227，所以满足条件的最大整数M为4.

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