概率论完整第19讲
17页1、 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是:独立的定义是:假设假设P(AB)=P(A)P(B)那么称事件那么称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v,若对任意的,若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立.两随机变量独立的定义是:两随机变量独立的定义是:用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v,若对任意的,若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.它说明,两个它说明,两个r.v相互独立时,它们的联合相互独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X,Y的联合密度,的联合密度,几乎处处成立,则称几乎处处成立,则称X,Y相互独立相互独立.对任意的对任意的 x,y,有有 假设假设(X,Y)是连续型是连续型r.v,那么上述独,那么上述独立性的定义等价于:立性的定义等价于:这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是:的含义是:在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外,的集合外,处处成立处处成立.分别是分
2、别是X的的边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.假设假设(X,Y)是离散型是离散型r.v,那么上述独立,那么上述独立性的定义等价于:性的定义等价于:则称则称X和和Y相互独立相互独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立?是否独立?解:解:x0 即:即:对一切对一切x,y,均有:均有:故故X,Y 独立独立y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样?情况又怎样?解:解:0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域,的区域,故故X和和Y不独立不独立.例例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的的概率是多少?概率是多少?解
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