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概率论与数理统计第七章抽样分布及其上分位数

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常见问题

1、7.3 抽样分布及其上分位数抽样分布及其上分位数为了进一步研究未知参数的统计为了进一步研究未知参数的统计推断问题，本节介绍几个重要的抽样推断问题，本节介绍几个重要的抽样分布及其定理分布及其定理.1精选课件一一抽样分布抽样分布统计量是随机变量，它的分布称为统计量是随机变量，它的分布称为“抽样分布抽样分布.研究统计量的性质和评价一个统计推断研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，取决于其抽样分布的性质的优良性，取决于其抽样分布的性质.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布2精选课件分别表示样本均值和样本方差分别表示样本均值和样本方差.时，也称时，也称是来自总体是来自总体的样本，仍用的样本，仍用如果如果是来自总体是来自总体X的样本，当的样本，当3精选课件统计上的三大分布统计上的三大分布记为记为定义定义3.1:3.1:如果随机变量如果随机变量有概率密度有概率密度分布分布(卡方分布卡方分布)1、称称服从自由度为服从自由度为n的的分布分布.来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数通过积分通过积分4精选课件分布的密度函数图形自由度依次分布的密度函数图形自由度

2、依次为为n=1,3,5,7=1,3,5,7n=1n=3n=5n=75精选课件分布的性质分布的性质定理定理3.1:3.1:如果如果是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本,则平方和则平方和6精选课件分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,那么那么有有定理定理3.2:3.2:如果如果是来自总体是来自总体N(0,1)的样本，的样本，7精选课件推推论论3.3:3.3:如如果果，那么，那么这个性质叫这个性质叫分布的可加性分布的可加性.8精选课件9精选课件则有则有10精选课件定理定理 3.4设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有11精选课件 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(student)分布分布.记做记做Tt(n).定义定义3.2:3.2:如果随机变量如果随机变量T具有概率密度具有概率密度称称T服从服从自由度自由度为为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布12精选课件形状形状:中间高中间高,两边低两边低,左右对称左右对称.当当n充分大时充分大时，t 分布分布近似近似N (0,1)分布分布

3、.但对于较小的但对于较小的n，t分布与分布与N(0,1)分布相差很大分布相差很大.t分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n=1n=2013精选课件 t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的比照概率密度曲线的比照 14精选课件 t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的比照概率密度曲线的比照 15精选课件16精选课件t分布的性质分布的性质定理定理3.5:3.5:如果如果ZN(0,1),且且Z与与相互独立相互独立，则有，则有17精选课件定理定理 3.6 3.6 如果如果X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有18精选课件且它们独立且它们独立.那么由定理那么由定理3.5得到得到证明：证明：由定理由定理3.419精选课件具有自由度为具有自由度为n的的t分布的随机变分布的随机变量量T的数学期望和方差为的数学期望和方差为:E(T)=0;Var(T)=n/(n-2),对对n 2 t分布的性质分布的性质20精选课件3、F(n,m)分布分布定义定义3.3 如果随机变量如果随机变量F有概率密度有概率

4、密度称称F服从自由度为服从自由度为(n,m)的的F分布分布，记做，记做 FF(n,m).其中其中n称为第一自由度，称为第一自由度，m称为第二自由度称为第二自由度.21精选课件图形：图形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度图形，的密度图形，m=1,3,7,1022精选课件F分布的性质分布的性质23精选课件24精选课件25精选课件26精选课件27精选课件28精选课件29精选课件例例1 设设X 与与Y 相互独立，相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与与 Y1,Y2,Y16 分别是取自分别是取自 X 与与 Y 的的简单随机样本简单随机样本,求统计量求统计量所服从的分布所服从的分布解解30精选课件从而从而31精选课件例例2 2 设总体设总体的样本的样本,为总体为总体 X试确定常数试确定常数c 使使cY 服从服从分布分布.解解故故因此因此32精选课件二二抽样分布的上分位数抽样分布的上分位数33精选课件34精选课件35精选课件36精选课件37精选课件38精选课件39精选课件40精选课件41精选课件42精选课件43精选课件由标准正态分布和由标准正态分布和t分布的密度函数图形的分布的密度函数图形的对称性及分位数的定义有：对称性及分位数的定义有：44精选课件

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