停机问题(详解)
7页1、停机问题在课堂上,我已经说明了:语言和图灵机分别是不可数集合和可数集合, 因此,图灵机(计算机)不是万能的。接着,我又用“停机问题”作为 具体例子强化了我们对图灵机不是万能的理解。但是,“停机问题”远 不止是为“图灵机不是万能的”这一论断提供了一个具体的例子,它也 为许多关于形式系统的定理提供了例子。在公理系统一文中,我提到了哥德尔的“不完备性定理”,即:一个形 式系统,如果是一致的(=相容的=无矛盾的),那么,就一定存在一个 命题,这个命题在该系统中不能被证明,也不能被否证。换一种说法, 这个命题在该系统中不能被证明,它的反命题在该系统中也不能被证 明。哥德尔是个天才,他的贡献还不止是这个定理,这个定理被称之为“哥 德尔第一定理”。更进一步,还有一个“哥德尔第二定理”,即:任何一个被认为是一致的系统,它的一致性是不能在系统内部得到证明的。理。我的理解,他是在说:世界是不可知的。或者,世界就没有“真理”这件事。一个系统 的一致性不能在这个系统内部证明,那应该怎么知道系统是一致的呢? 因为,没有一致性,逻辑就破产了。你会说:“既然一个系统的一致性 不能在该系统内部得到证明,我可以通过另一
2、个已经被证明是一致性的 系统来证明这个系统的一致性,就好比你自己无法证明自己是好人,但 是,你可以通过另外一个好人来证明你是好人啊。”明眼人一看就知 道这是很无谓的循环,请问:这“另一个已经被证明是一致性的系统” 的一致性是如何得到证明的呢?如果你回答说:“它的一致性是通过其 它的已经被证明是一致性的系统来证明。”那我继续追问:其它的系 统的一致性又是怎么被证明的呢?你继续回答,我可以同样继续追问, 会有结果吗?类似地,你也无法通过另一个所谓“好人”来证明你是一 个好人,因为,逻辑上,另一个人要证明他自己是好人的话,他遇到的 问题与你没有区别,也是如此无限循环下去的。难道说,世界上就没有一致性的系统吗?事实是:不知道!我们假设我 们有,所有的证明通过上述追问最终都归结到了假设,或者公理,通过 首先承认这些公理的不言自明之正确性,我们才逐渐发展出我们自以为“严密的”逻辑。同样,通过承认“政府”、“嘻嘻TV”、“人民大众” 或“某个人”是好的,才能“证明”你是好人。当然“政府、嘻嘻TV、 人民大众或某个人是好的”也完全是假设。If这样的不断追问和思考你能发现什么?你会发现:科学本身建立的基
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