《数值分析》第五章答案
9页1、习题51 导出如下3个求积公式,并给出截断误差的表达式(1)左矩形公式:af(x)dxf(a)(ba)(2)右矩形公式:af(x)dxf (b)(ba)中矩形公式:baf(x)dxf(a b2)(b a)解: (1)f(x)f (a),bf(x)dxab f (a)dxaf(a)(ba)f(x)f(b),af(x)dxaf(b)dxf(a)(ba)baf ( )(xb)dxbf ( )a(xb)dx 1(b a)2 1f (),,(a,b)a b法 1 f(x) f (丁),法2可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 H (x)a b a ba b a b .,满足 H () f() , H () f (),则有2 2 2 2aa Kf(x) H(x) - f ( )(x 2)2,(a,b)于是2 考察下列求积公式具有几次代数精度:1 1(1) 0f(x)dx f(0) 丁;(2) 11f(x)dx f( 一;) f(;)。解:(1)当 f(x) 1 时,左=1,右=1+0=1,左二右;111当f (x) x时,左,右=0,左=右;22 22 1当f (x) x2时,左=-,右
2、=1,左右,代数精度为13(2)当 f(X)1时,左=2,右=2,左=右;当 f (X)X时,左=0,右=(3)当 f (X)X2时,左-,右1 133 3当 f (X)X3时,左0,右(.3)当 f (X)X4时,左-,右5Q2精度为3。I,左=右;29,左右。代数130,左=右;(3)30,左=右;3确定下列公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指出其代数精度的次 数。(1)11 f (x)dx13【f( 1) 2f()3f();bb f (x)dxb aAf(a) f(b)2a(b a)2f(a) f (b);(3)f (x)dxaf( 1)ai f (0)a2 f (1)。解:f(x)1时,左2,右-(12 3)32,左=右;f(x)x时,左0,右1( 1 23f(x)x2时,左3,右 3(1222);要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当满足1 _61,255求积公式(1): f(x)dx -13,12丄1匀51,2356)1 _65151 761 2后f( 1)2f(T6) 3f(5 27)求积公式(2):1 11f(x)dx 3 f(1)2f(!)5(B)当 f
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