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高等数学练习题(附答案)

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常见问题

1、高等数学专业年级学号姓名一、判断题. 将或填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界.（）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3. 闭区间上的间断函数必无界.（）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（）5. 若在点可导，则也在点可导.（）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.（）7. 若在上可积，则在上连续.（）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.（）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设，则 .2. 若，则 .3. 设单调可微函数的反函数为, 则 .4. 设, 则 .5. 曲线在点切线的斜率为 .6. 设为可导函数,则 .7. 若则 .8. 在0,4上的最大值为 .9. 广义积分 .10. 设D为圆形区域 .三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算.2. 求在（0，+）内的导数.3. 求不定积分.4. 计算定积分.5. 求函数的极值.6. 设平面区域D是由围成，计算.7.

2、计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明： .2. 设在闭区间上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.高等数学参考答案一、判断题. 将或填入相应的括号内（每题2分，共20分）1. ；2. ；3.； 4. ；5.； 6. ；7. ；8. ；9. ；10.二、填空题.（每题2分，共20分）1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.； 5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为且，=0 由迫敛性定理知： =0 2.解：先求对数 3.解：原式= = =2 4.解：原式= = = = =4/5 5.解：故或当时，且A= （0，0）为极大值点且当时，，无法判断 6.解：D= = = = = = 7.解：令，；则， 8.解：令，知由微分公式知：四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设 =0 令即：原式成立。 2.解：上连续且 0故方程在上至少有一个实根. 又即在区间上单调递增在区间上有且仅有一

3、个实根. 高等数学专业学号姓名一、判断题（对的打，错的打；每题分，共分）1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.2. 若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.3. 若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.4. 方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.5. 设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则为一阶线性微分方程的通解.二、填空题（每题分，共分）1. 设则 .2. 设，当时，在点连续.3. 设，则 .4. 已知在处可导，且，则 . 5. 若，并且，则.6. 若在点左连续，且，则与大小比较为 7. 若，则；.8. 设，则.9. 设，则.10. 累次积分化为极坐标下的累次积分为 .三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）1. ; 2. 设，求; 3. ;4. ; 5. 设, 求.6. 求由方程所确定的函数的微分.7. 设平面区域是由围成，计算. 8. 求方程在初始条件下的特解. 四、（分）已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值.五、应用题（每题分，共分）1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为

4、时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元. 问轮船的速度为多少时, 每航行所消耗的费用最小？2. 过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积. 六、证明题（分）设函数在上的二阶导数存在，且, . 证明在上单调增加.高等数学参考答案一、判断题 1.； 2.； 3. ； 4. ； 5.二、填空题1. 36 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.；7. ； 8. ； 9. ； 10.三、计算题1. 原式 2. 3原式= 4设则原式= 5 6两边同时微分得：即故（本题求出导数后，用解出结果也可）7 8原方程可化为通解为代入通解得故所求特解为：四、解：因为在处有极值，所以必为驻点故又解得：于是由得，从而，在处有极小值，在处有极大值五、1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为又时，故得，所以有，令，得驻点由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，又因为上的切线斜率满足，在上即有所以，即又因为满足，解方程组得所以切线方程为则所围成图形的面积为：（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：六、证：在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得代入上式得由假设知为增函数，又，则,于是,从而，故在内单调增加. 高等数学试卷专业学号姓名一、填空题（每小题1分，共10分）1函数的定义域为_。 2函数上点（，）处的切线方程是_。 3设在可导且，则 _。 4设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是_。 5_。 _。 7设，则_。 8累次积分化为极坐标下的累次积分为_。 9微分方程的阶数为_。 10设级数发散，则级数 _。二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，（110每小题1分，1117每小题2分，共24分）1设函数

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