牛顿插值法原理及应用
18页1、牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商,递推得到的一个公式:f(x)=fx0+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+.fx0,.xn(x-x0).(x-xn-1)+Rn(x)。插值函数 插值函数的概念及相关性质1定义:设连续函数y-f(x) 在区间a,b上有定义,已知在n+1个互异的点x0,x1,xn上取值分别为y0,y1,yn (设a x1x2xnb)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ,使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,xn 为插值节点,称a,b为插值区间。定理:n次代数插值问题的解存在且唯一 。牛顿插值法C程序程序框图#includevoid main() float x11,y1111,xx,temp,newton;
2、 int i,j,n; printf(Newton插值:n请输入要运算的值:x=); scanf(%f,&xx); printf(请输入插值的次数(n11):n=); scanf(%d,&n); printf(请输入%d组值:n,n+1); for(i=0;in+1;i+) printf(x%d=,i); scanf(%f,&xi); printf(y%d=,i); scanf(%f,&y0i); for(i=1;in+1;i+) for(j=i;j1) yij=(yi-1j-yi-1j-1)/(xj-xj-i); else yij=(yi-1j-yi-1j-1)/(xj-xj-1); printf(%fn,yii); temp=1;newton=y00; for(i=1;in+1;i+) temp=temp*(xx-xi-1); newton=newton+yii*temp; printf(求得的结果为:N(%.4f)=%9fn,xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0) syms t; if(length(x) = len
3、gth(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0; else disp('x和y的维数不相等!'); return; end f = y(1); y1 = 0; l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,'t',x0); else f = collect(f); %将插值多项式展开 f = vpa(f, 6); end end牛顿插值法摘 要:值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全
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