高中数学极值点偏移问题
9页1、极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组:赵拥权一:极值点偏移(俗称峰谷偏)问题的定义对于可导函数在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,方程(f(x)=m)的解分别为且b.则称函数f(x)在区间(a,b)上极值点偏移;(1) 则称函数f(x)在区间(a,b)上极值点偏移;(2) 则称函数f(x)在区间(a,b)上极值点偏移;二:极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为且b.(1) 若则即函数f(x)在区间(a,b)上极大值点右偏;(即峰偏右)(2) 若则即函数f(x)在区间上(a,b)极小值点左偏;(即谷偏左)(3) 若则即函数f(x)在区间上(a,b)极大值点左偏;(即峰偏左)(4) 若则即函数f(x)在区间上(a,b)极小值点右偏;(即谷偏右) x= x=y=mxy=f(x)x= x=拓展:1) 若,则的图象关于直线对称;特别地,若(或f(x)=f(2a-x)),则的图象关于直线对称2) 若函数f(x)满足有下列之一成立:f(x)在递增,在(a,2a)递减,且f(a-x))f(a+x)(f(x)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减
2、,在(a,2a)递增,且f(a-x)()f(2a-x)则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中 极大值左偏(或右偏)也称峰偏左(或右)极小值偏左(或偏右)也称谷偏左(或右);性质:1) 的图象关于直线对称若则 ,(=0,);2)已知函数是满足条件的极大值左偏(峰偏左)若则则,及极值点偏移解题步骤:求函数f(x)的极值点;构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f()确定F(x)单调性结合F(0)=0(F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系;答题模式:已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证:求函数f(x)的极值点;构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系;假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)F(0)=0,从而得到x0时f(x+)f(1.(2016年全国I高考)已知函数有两个零点. 设x1,x2是的两个零点,证明:+x2
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