求数列通项公式

1、-目录摘要2Abastract2前言2一、 用观察法求数列通项公式3二、 利用累加法累乘法及定义法求数列通项公式4三、 利用数列的和求数列通项公式6四、 利用“归纳猜测证明法求数列通项公式7五、 利用构造法求数列通项公式8六、 利用倒数法、换元法求数列通项公式10七、 利用特征根法求数列通项公式10参考文献12数列通项公式求法探索王波摘要：数列是一种特殊形式的函数，数列的通项公式的求法有着丰富的数学思想。数列问题复杂多变、灵活性强，应用广泛，本文对数列通项公式的求法以及每一种方法在何种情况下适用进展归纳总结。探索了用待定系数法、特征根法、构造法等求常见几类递推数列的通项公式。关键词：数列；等比通项公式；递推公式；特征方程；特征根On Method E*ploration of The General FormulaWang BoAbastract：The sequence is a kind of special form of function,the sequence of the general term of the formula method has a variety o

2、f mathematical thought.The sequence problem is plicated, fle*ibility and wide application.In this paper, the series the general term of the formula and the method to each method is in what circumstances are summarized.E*plore with the method of undetermined coefficients, characteristic root method, method of construction for mon categories such as recursive formula the general term of the series.Keywords: series pares； the general term formula ；Recursive formula; characteristic equations；charact

3、eristic root 提引：在研究数列问题时，如果知道数列的通项公式往往能将问题变得更容易，这在中学阶段应该是可以实现的。而在求数列通项时，根据关系式的形式，计算方法多种多样，但方法选取是否适当直接关系到计算过程的难易以及结果的正确与否。就拿数列an来说，他可以以an与的关系形式出现，也可以以不等式形式出现，还可以以递推公式的形式出现，而以这几种形式出现的数列通常都是可以求出通项公式的。其中，最常见的就是以递推公式形式出现叫我们根据递推关系求出数列的通项公式，这里也将介绍常见的几种递推公式。值得说明的是递推公式是认识数列的另一种重要形式，也是给出数列的根本方式之一，给出数列递推公式求出通项公式既能够考察学生对数列这局部知识是否掌握，也能够考察学生的观察能力，推理能力，判断能力 ，这也是递推数列成为高考重点的原因,但我们必须意识到这些容的考察都是建立在等差等比数列的根底上的，这两种类型的数列是解决问题的关键。 下面主要介绍求数列通项公式的方法以及各种方法适用于怎样的情形和所需注意的细节，其中包括观察法，定义法，数学归纳法，累加法和类乘法，待定系数法，特征根法，倒数法，构造法，以及常见

4、的几种递推数列通项的求法。 一、利用观察法求数列的通项公式 提引：观察法又叫猜测法或者不完全归纳法，顾名思义观察法就是观察数列中所给出各项与序号项数之间的关系，分解出各项中变化局部与不变局部，在探索各项中变化局部与序号只间的关系，从而归纳出构成规律写出通项。这种方法其实就是通过数列的项找出该数列的普遍规律，关键是找出各项与项数之间的关系。用这种方法解决问题有一个明显的特征是数列会给出有限项下面我们来看一道例题：例1：数列-1，-，,，写出数列的一个通项公式。解：将数列项变形为：-，-，观察可得不变得是每一项的分子，变化的是每一项前面的符号和分母，可得数列的一个通项公式是：an=-1n该例题中给出的4项有3个是分数，自然要想到要将-1化为分数，至于化为分母有多少的分数就是此题的关键。例2：数列9,99,999,9999,99999，写出数列的通项公式。分析：这个数列的特征是数列的第n项由n个9构成，但这个规律不能够用数学式子来表示。现在我们来看看这个数列9+1,99+1,999+1,9999+1，它是在所求数列的每一项都加上1，加上1以后得到新数列的每一项都是整十、整百、整千，即新数列为

5、：10,102,103,104，这个数列的通项公式为，而要得到原来的数列只需要在这这数列的每一项减去1，所以所求数列通项公式为。还有一个例子与这个是极为相似的：数列0.9,0.99,0.999,0.9999，的通项公式。解决方法是在该数列的每一项都加上一个数，使得每一项变为1，由此可见用观察法求数列通项要求我们对数字要有一定的敏感，这是在平时的练习中训练出来的。 提引：用观察法，只是从数列的有限项通过观察得到数列所有项的通项公式，这是他的局限性所在，有时是不可靠的如数列2,4,8，通过观察通项公式为或，这是因为给出的是有限项，而两个通项公式给出的数列从第4项起开场不一样。 二、利用累加法、累乘法及定义法求数列的通项公式一累加法 提引：与有关的一个表达式我们可以把他看做一个数列，则，如果这个数列的前一项与后一项相加可以抵消掉一局部的话，则我们把这个数列的每一项加在一起就会只剩下第一项的一局部和最后一项的一局部。举一个简单的例子：=，同时=，则有：=，=，=，=，将n个式子相加就会得到=1。上面例子是累加法最根本的应用，任何数列都满足，对于在求数列通项公式时，有一类题型是非常适用的，如果能

6、够求和，则，可以用此法。 提引：我们将等式变形为：,用累加法便可得到,自然能够得到。这样的很多，如我们熟知的等差数列、等比数列、等差乘等比型数列以及上面例题中可以拆项裂项的分数型数列等。例3：数列满足，求。分析：我们知道，条件中为等差乘比型数列，可以求和，能够用累加解决。 二累乘法 提引：一般地，形如类型数列的通项公式，只要，能够求积，则=，此时可用累乘法。这里能够求积的可以是等比数列，分数型数列分子分母为同一等差数列的相邻项。例4：在数列中，=1，求。分析：对任何数列=恒成立，这里我们可以将一直关系式变为=，为自然数列可以求积，=，所以。当我们遇到型式的关系式时，通常都会将其转化为，这样就可以应用=这个恒等式。例5：在数列中，=1，求。分析：我们同样需要用到=，则有，这里是指数的数列，因此可以求积，即：，这样就得到。例6：在数列中，=3，求。分析：由于是分数型数列，且分子和分母是同一等差数列的相邻项，则的分母是和的分子一样的，所以可以求积。这里，=3例4、例5、例6给出的为不同类型的能够求积的数列，分别为自然数列、等比数列及分数型数列，而不管为哪一类型的数列都要用到恒等式=。 三定义

7、法 提引：定义法即我们根据等差数列和等比数列的定义求出数列的通项公式。当数列为等差数列或者等比数列时，可以直接应用等差数列或者等比数列的定义求数列的通项公式这里指的是等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。这里值得注意的是等差数列的求和公式的两种形式：，其实第二个求和公式就是将第一个求和公式中用通项公式来表示，在解题是如果所与公差有直接关系，则就要用第二种形式。例7：己知等差数列中，求数列的通项公式。 分析：要求的数列为等差数列，而一个等差数列是由它的首项和公差决定的，条件中没用给出公差，则在选择求和公式时，我们选择第二种形式，由题意得：= 1 2解得：n=15，d=-，所以，=。 三、利用数列的和求数列通项公式 此类问题的关键在于注意数列的前n项和与的关系：，所有数列都满足这个关系。我们要求的是数列的通项an，则这里数列的前n项和就是的或者是与有关的等式，即当时，则，所以就表示或者与的关系。例8：为数列an的前n项和，求an的通项公式。分析：根据上面所介绍的，则由可以得出an。解：由得：=n12 n1=n23n 所以：=2n2=an 又： 故：an=2n2 上面一道简单的例题已经将这

8、一关系的作用表达出来，在用此法解题时还有一点是需要注意的是必须验证用所求的与用an所求的是否相等，相等的话an自然为数列的通项通项公式，不等的话说明所求使用围是从数列第2项起。下面再看一道例题：例9：为数列an的前n项和，=n2n1，求an的通项公式。分析：用与例8同样的方法可以得出an=2n2，但通过所求的=1，而用所求的=0，这就说明所求出的是从数列第二项开场的，自然而有： 1，n=1 2n2，n2例10：为数列an的前n项和，求。分析：条件中给出的等式是与之间的一个关系式，而，可以得到，所以有，是通过这递推关系式得到数列的通项的，方法在后面容中将介绍到。题引：利用数列的和求数列通项关键在于，且要注意与所求出通项公式得到的是否相等。 四、利用“归纳猜测证明法求数列通项公式 提引：当给出一个与数列有关的关系式后，这个关系式可以是等式也可以是不等式，我们可以写出数列的前几项，再观察这几项是不是满足*种规律，这一步就是我们上面所介绍的“观察法 ，而我们要验证自己的猜测是否正确总不等去验证数列的每一项为哪一项不是即满足关系式又满足我们所猜测的式子，数学归纳法将是很好的工具。用这种方法条件是必须通过关系式能够写出数列的每一项，当然我们只需写出几项，根据写出的项我们能够归纳总结出一个规律，一般来说这个规律要比拟容易观察出来这个方法才适用。例11：数列的前n项和满足条件：=，求数列an的通项公式。解：根据关系式=易得：=1=2，=2，=2由此猜测：=下面用数学归纳法证明：当n=1是，a1=1，显然成立；假设n=k时，=成立，则n=k+1时，=又Sk+1=Sk+an+1，所以有Sk+2ak+1=即+ak+1=ak+1=，原命题成立。所以，猜测正确。例12、设正整数列满足：，且对任意n,有2+，求数列的通项公式。解析：此题是2007年省数学理科的压轴题，看起来非常复杂，貌似无从从下手，但只要去注意到是正整数列以及给出

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