九年级数学相似三角形的性质及应用教师版知识点+典型例题+详细答案

1、- 相似三角形的性质及应用 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进展有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题如何把实际问题抽象为数学问题.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3. 相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离长度，根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形

2、的性质计算AB的长.要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点一般指观察者眼睛的位置;4. 仰俯角：观察者向上下看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.ABCDEF，假设ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一边的长度，你能求出DEF的另外两边的长度吗.试说明理由.【答案】设另两边长是*cm，ycm，且*y.(1)当DEF中长4cm线段与ABC中长5cm线段是对应边时，有， 从而*=cm，y=cm.(2)当DEF中长4cm线段与ABC中长6cm线段是对应边时，有， 从而*=cm，y=cm.(3)当DEF中长4cm线段与ABC中长7cm线段是对应边时，有， 从而*=cm，y=cm.综上所述，DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm， cm三种可能.2.如下图，ABC中，AD是高，矩形EFGH接于ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，假设BC=30cm

3、，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【答案】 四边形EFGH是矩形， EHBC，AEHABC. ADBC， ADEH，MD=EF. 矩形两邻边之比为1：2，设EF=*cm，则EH=2*cm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，. EF=6cm，EH=12cm.举一反三1、如图，在和中，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，.又，相似比为.的周长为，的面积是.2、 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2.ABCA1B1C1A2B2C2且，.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则SBCE：SBDE等于 A. 2：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 【答案】B.【解析】由可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=*, 则CE=8-*,在RtBCE中，*2-(8-*)2=62,*=,由ADEACB得，SBCE：SBDE=64-25-25：25=14:25，所

4、以选B.4、在锐角ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.【答案】过点B做BFAC,垂足为点F，AD,CE分别为BC,AB边上的高，ADB=CEB=90，又B=B，RtADBRtCEB,且B=B，EBDCBA,又DE=2，AC=6，5、：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点，ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积【答案】DABC， ADEBCE SADE:SBCE=AE2:BE2 AEBE=1:2， SADE:SBCE=1:4 SADE=1， SBCE=4 SABC:SBCE=AB:BE=3:2， SABC=6EFBC， AEFABCAE:AB=1:3， SAEF:SABC=AE2:AB2=1:9 SAEF=6、如图，中，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.【答案】(1)，.(2)的周长与四边形的周长相等.=6，.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应

5、两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法.【答案】如上图，先从B点出发与AB成90角方向走50m到O处立一标杆，然前方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上则A、B之间的距离是多少.ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCAOBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m即河宽为85m4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似为什么 (2)求古塔的高度【答案】(1)ABCADEBCAE，DEAE，ACB=AED=90A=A，ABCADE(2)由(1)得ABCADEAC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，DE=16m 即古塔的高度为16m。举一反三1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，则排球能碰到墙上

6、离地多高的地方.【答案】如图，AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQAC,根据物理学原理知BPQ=QPD,则APB=CPD，BAP=DCP=90，ABPCDP,即,DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.2、在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在的照射下，塔影DE留在坡面上。铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，则塔高AB为A.24m B.22m C.20mD.18m【答案】 A.【解析】过点D做DNCD交光线AE于点N，则,DN=14.4，又AM:MN=1.6:1，AM=1.6MN=1.6BD=1.66=9.6塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选A.3、：如图，通过窗口照射到室，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC. 【答案】作EFDC交AD于F.ADBE，又， ， . ABEF， ADBE，四边形ABEF是平

7、行四边形，EF=AB=1.8m. m.【稳固练习一】一、选择题1如图1所示，ABC中DEBC，假设ADDB12，则以下结论中正确的选项是( )A BCD 图1 图22. 如图2, 在ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DEBC. 假设AD:DB = 2:1, 则SADE: SABC为 ( )A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:23*校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是 A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米4. 图为ABC与DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB/ DE.假设ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )A3 B7 C12 D155如图是小明设计用手电来测量*古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 则该古城墙的高度是 A6米 B8米 C18米 D24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，则它的边长要增大到原来的倍. A.2B.4C.2D.64 二、填空题7. 如下图，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD20m，FD4m，EF1.8m，则树AB的高度为_m 8. 两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为_.9如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，假设AC1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是_.准确到0.1m10.梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于点,假设=4， =9，=_.11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则_.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，则边长应缩小到原来的

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