近世代数复习提纲(共9页)
9页1、精选优质文档-倾情为你奉上近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义(四个等价定义)2、基本性质(1)单位元的唯一性;(2)逆元的唯一性;(3);(4);(5);。3、元素的阶使成立的最小正整数叫做元素的阶,记作;若这样的正整数不存在,则称的阶是无限的,记作。(1)。(2)若,则;由可得。(3)当群是有限群时,有且。(4),其中。证明 设。因为,所以。另一方面,因为,所以,从而,又,所以,故。注:1 ,但若,且,则有(P70.3)。2 ;但。例1 令,则关于普通乘法作成群。显然,1是的单位元,所以,有,但。二、群的几种基本类型1、有限群:元素个数(即阶)有限的群,叫做有限群。2、无限群:元素个数(即阶)无限的群,叫做无限群。3、变换群:集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群,叫做集合上的变换群。(1)变换群的单位元是的恒等变换。(2)的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。(3)一般地,变换群不是交换群。(4)任一个群都与一个变换群同构。4、置换群:有限集合上的一一变换叫做置换,若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例2 设是中元素,求。解
2、 (1)元集合的所有置换作成的置换群,叫做次对称群,记作。(2)。(3)每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。(4)。(5)任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群:若群中存在元素,使得,则称是循环群。(1)循环群是交换群(P61.1)。(2)素数阶群是循环群(P70.1)。(3)循环群的子群是循环群(P65.4)。(4)当时,; 当时,。(5)(6)当时,有且仅有两个生成元; 当时,有且仅有个生成元,这里表示小于且与互素的正整数个数。且当时,是的生成元。(7)若与同态,则1也是循环群;2 当时,;3 的阶整除的阶。例3(P79、3)三、子群1、定义:设是群的非空子集,若关于的于是也构成群,则称是的子群,记作。2、等价条件(1)群的非空子集是子群,有 ,有(2)群的非空有限子集是子群,有。3、运算(1)若,则(可推广到任意多个情形)。(2)若,则未必是的子群。(3)若,则未必是的子群。(4)若,则不是的子群。4、陪集设,则的子集叫做的包含的左陪集;的子集叫做的包含的右陪集。(1)一般地,。(2);。(3)。(4)。(5)是的一个分类,也是的一个分类。即,且(当时)或,
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