2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 3.2解三角形
8页1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:3.2解三角形一、正弦定理和余弦定理(一)正弦定理、余弦定理的简单应用相关链接1、已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、无解三种情况,应根据已知条件判断解的情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断;2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷;3、三角形中常见的结论(1)A+B+C=;(2)在三角形中大边对大角,反之亦然;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)三角形内的诱导公式 (5)在ABC中,tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.例题解析例1在ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC解答:由已知得acb,A为最大角。由余弦定理得:。又。方法一:由正弦定理得,因此最大角A为,。方法二:。C为三角形的内角,C为锐角。sinC=,所以最大角为,sinC=。例2在ABC中,(1)若b=,c=1,B=450o,求a及C的值;(2)若A=600,a=7,b=5,求边C。思路解析:(1)可直接使用正弦定理求解,注意解的个
2、数的判断,也可利用余弦定理求解;(2)题目条件是已知两边及一边的对角,这种情况一般用正弦定理理解,但本题不求B,并且求出sinB后发现B非特殊角,故用正弦定理不是最佳选择,而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解。解答:(1)方法一:由由正弦定理得,所以sinC=.因为cb,所以CB,故C一定是锐角,所以C=,所以A=,所以,所以方法二:根据得,解得。解角C方法同上。(2)因为,所以,解得c=8.(二)三角形形状的判定相关链接依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论。注:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解。例题解析例在ABC中,若试判断ABC的形状思路解析:三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边,再整理化简即可判断解答:方法一:由得, 2A=2B或2A+2B
3、=,即A=B或ABC是等腰三角形或直角三角形方法二:由已知得,即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a=b或a2+b2=c2,ABC是等腰三角形或直角三角形(三)正、余弦定理在几何中的应用相关链接正、余弦定理在几何中的应用(1)首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形;(2)其次确定与未知量相关联的量;(3)最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析例1如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=600,BCD=1350,求BD及BC的长。解答:在BAD中,由余弦定理,得,例2如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB=5,AC=9,BCA=300,ADB=450,求BD的长。思路解析:由于AB=5,ADB=450,因此要求BD,可在ABD中,由正弦定理求解,关键是确定BAD的正弦值。在ABC中,AB=5,AC=9,ACB=300,因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可。解答:在ABC中,A
4、B=5,AC=9,BCA=300,由正弦定理,得注:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用;(2)条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理;(3)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角;(4)正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视。二、应用举例(一)与距离有关的问题相关链接1、一般步骤:(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解;(3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只
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