第二节　等差数列(教育精品)

1、第二节等差数列 有关等差数列通项、前n项和的基本运算考向聚焦高考常考内容,主要是以选择、填空题形式考查a1、n、d、an、Sn的基本运算问题,即“知三求二”,难度较低,分值占5分左右备考指津要熟记等差数列的通项公式、求和公式,运算时注意方程思想与整体思想的运用1.(2012年全国大纲卷,理5,5分)已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为()(A) (B)(C)(D)解析:由等差数列的通项公式和前n项和公式,得a5=a1+4d=5S5=5a1+10d=15解得d=1,a1=1.an=a1+(n-1)d=n=-.数列的前100项和为T100=(-)+(-)+(-)+(-)=1-=.答案:A.2.(2012年辽宁卷,理6,5分)在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()(A)58(B)88(C)143(D)176解析:an成等差数列,a4+a8=a1+a11=16,S11=88.故选B.答案:B.3.(2011年大纲全国卷,理4)设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于()(A)

2、8(B)7(C)6(D)5解析:Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=a1+(k+2-1)d+a1+(k+1-1)d=2a1+(2k+1)d=21+(2k+1)2=4k+4=24,k=5.故选D.答案:D.4.(2011年天津卷,理4)已知an为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为an的前n项和,nN*,则S10的值为()(A)-110(B)-90(C)90(D)110解析:等差数列an的公差d=-2,a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又=a3a9,(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20.S10=1020+109(-2)=110.故选D.答案:D.5.(2011年四川卷,理8)数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1-an(nN*).若b3=-2,b10=12,则a8等于()(A)0(B)3(C)8(D)11解析:设等差数列bn的公差为d,解得bn=2n-8.由bn=an+1-an,得an+1-an=2n-8.相加得a8-a1=2(1+2+7)-56=56-56=0.a8=a1=

3、3.故选B.答案:B.6.(2010年福建卷,理3)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()(A)6(B)7(C)8(D)9解析:设等差数列an的公差为d.a1=-11,a4+a6=2a1+8d=-22+8d=-6,d=2.后续有两种解法:法一:注意到a1=-110.数列an为:-11,-9,-7,-5,-3,-1,1,S6最小.故选A.法二:Sn=n2+(a1-)n=n2-12n=(n-6)2-36,(nN*),n=6时,Sn有最小值.故选A.答案:A.7.(2012年广东卷,理11,5分)已知递增的等差数列an满足a1=1,a3=-4,则an=.解析:设公差为d,a1=1,a1+2d=(a1+d)2-4,解得:d2=4.又an是递增的等差数列,d=2.an=a1+(n-1)d=2n-1.答案:2n-18.(2011年湖南卷,理12)设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=.解析:设等差数列an的公差为d,由a4=7得a1+3d=7,又a1=1,d=2,a5=a1+4d=9,S5=25答案:259

4、.(2011年广东卷,理11)等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=.解析:S9=a1+a2+a3+a4+a5+a9,即S9=S4+a5+a9,又S9=S4,a5+a6+a7+a8+a9=0,又a5+a9=a6+a8=2a7,5a7=0,a7=0,则公差d=-,又ak+a4=0,a1+(k-1)d+a1+3d=0,即1+(k-1)(-)+1+3(-)=0,k=10.答案:1010.(2010年浙江卷,理15)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.解析:由S5S6+15=0可得2+9a1d+10d2+1=0,(*)由存在实数a1,使(*)式成立,=81d2-8(10d2+1)0,解得d-2或d2.答案:d-2或d2 在推出2+9a1d+10d2+1=0后,由于存在a1满足此式,所以可以把它看成关于a1的一元二次方程有解,由0得d的取值范围.这体现了方程思想的运用.11.(2012年湖北卷,理18,12分)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公

5、式;(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.解:(1)设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5,或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5,或an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n=1时,S1=|a1|=4;当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;当n3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)=5+=n2-n+10.当n=2时,满足此式.综上,Sn=等差数列性质的应用考向聚焦高考热点内容,多以选择、填空形式考查等差数列的性质,难度低档,分值占5分左右12.(2012年重庆卷,理1,5分)在等差数列an中,a2=1,a4=5,则an的前5项和S5等于()(A)7(B)15(C)20(D)25解析:S5=15.故

6、选B.答案:B.13.(2012年福建卷,理2,5分)等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:a1+a5=2a3=10,a3=5,d=a4-a3=2.故选B.答案:B.14.(2012年浙江卷,理7,5分)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和,则下列命题错误的是()(A)若d0,则数列Sn有最大项(B)若数列Sn有最大项,则d0(D)若对任意nN*,均有Sn0,则数列Sn是递增数列解析:C项错误,因为Sn是递增数列时,数列an的第一项可以是负值,第二项是正值,此时S10,故选C.答案:C.15.(2010年大纲全国卷,理4)如果等差数列an中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35解析:a3+a4+a5=12,a4=4,则a1+a2+a7=7a4=28,故选C.答案:C.16.(2012年江西卷,理12,5分)设数列an,bn都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=.解析:本题考查等差数列的性质及整体代换的数学思想.设数列an,b

7、n的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+27=35.答案:3517.(2012年北京卷,理10,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=;Sn=.解析:设公差为d,则由S2=a3,2a1+d=a1+2d,a1=d.又a1=,d=.a2=a1+d=1.Sn=n+n(n-1)=.答案:118.(2011年重庆卷,理11)在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.解析:由等差数列性质得a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=237=74.答案:74与等差数列有关的综合问题考向聚焦一般围绕等差数列的通项公式、前n项和公式和有关性质的基本运算,结合函数、方程及不等式等知识综合命题,多以解答题形式出现,难度中低档,分值一般为12分19.(2011年湖北卷,理13)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升.下面3节的

8、容积共4升.则第5节的容积为升.解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a1,则由已知得,解得.第5节容积为a1+4d=.答案:20.(2011年陕西卷,理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为米.解析:将20个树坑依次编号为1,2,20,将树苗集中放在n号树坑旁,其中1n20(nN*),由m号(1m20)(mN*),树坑到n号树坑的往返路程为210|n-m|,所以总路程S=20(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+0+1+2+(20-n)=20+=20(n2-21n+210),当且仅当n=10或n=11时有Smin=20100=2000(米)答案:2000 本题实质是在一个新背景下的数列求和问题.21.(2011年大纲全国卷,理20)设数列an满足a1=0且-=1.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,记Sn=bk,证明:Sn1.(1)解:-=1,为等差数列且首项为=1,公差d=1,=1+(n-1)1=n,an=1-.(2)证明:an=1-,bn=-,Sn=bk=(-)+(-)+(-)=1-1,Sn1.22.(2010年山东卷,理18)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由于a3=7,a5+a7=26.所以a1+2d=7,2a1+10d=26.解得a1=3

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