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数学建模案例分析--最优化方法建模5产品试验与设计

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卖家[上传人]：鲁**

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常见问题

1、 5产品试验与设计许多产品如橡胶、塑料、农药、饲料等都是由若干种原材料按一定配比混合加工而成，不同的原料配比既可影响产品的质量，也会影响企业的利润，于是存在着所谓最佳配比问题。另外，一些机电产品在设计或加工过程中的若干参数，也存在类似的优化问题，试看以下的例子。例10某种橡胶制品含有n种原材料 A,4，An,制品的强度、硬度、变形率等指标与各种原材料的含量有关，试配合试验建立适当的数学模型。寻求最佳的原料配比。首先经过试验并结合一定的理论分析，确定各性能指标与原材料含量之间关系。记n种原料含量分别为xx2，Xn,强度、硬度、变形率3个指标分别为yi , y2 ,、3。取不同的原料配比作N组试验，得以下数据：乂住2口，Xnk； yik，y2k，y3k (k =1,2，N)。设根据理论分析和经验，Xi,X2，Xn与yi, y2 , y3间有函数关系。y j = f j(X1 , X2 , Xn ), j = 1,2,31 )然后，建立寻求最佳原料配比的数学模型。为简化问题，确定一个主要指标如强度作为目标函数，而将另外2个指标作为约束条件处理，这时模型可表为：MaXyi = fi

2、(xl ,Xn)(2) * S.t.f2 (Xi ,X2,Xn) y2(3)*f3(Xi,X2，Xn) y3(4)nZ Xi =i(5)i iXi，X2，Xn 之 0(6)，*其中y2是硬度指标下限，3是变形率的上限，(5)是将Xi,X2，Xn作为配比(%)而引入的。一般来说，这是一个非线性规划模型。实际上，由( D式确定yj = fj(Xi,X2；-1 ,Xn), j =i,2,3 也可视为非线性规划问题，只不过当它们是线性函数时，问题化为线性规划，很容易求解。例11某厂生产n种饲料r,，阵，它们均由m种原料Qi,Q2,，Qm配合而成，Qj在Pi中含量(百分比)的上限为 uj ,下限为lj。若Pi的售价为Pi (元/千克)，Qj的成本为qj (元/千（i =1,2，n, j =1,2，m），试确定各种饲料的产量及其原料配克），Qj的供应量不超过口，比，使工厂的利润最大。决策变量是各种饲料的产量及其中各原料所占百分比。记R的产量为y , Qj在P中的比例为Xj。目标函数是工厂的利润，即总收入与总成本之差。Pi的收入为Ryi ,而Qj在P中的成本为qjyiXj,于是利润为 nn mZ

3、 = Piyi -Z Z qjXj（1）i 4i 4 j JQj用量的约束条件为nZ yiXij rj, j =1,，m(2)i 1原料含量的约束条件为Xj MUij, i =1,，n, j =1,，m(3)xij l ij ,i = 1,n, j = 1, ,m(4)mZ Xj =1, i =1,，n(5)j 1yi 之0, i=1,2，n(6)问题归结为在条件（2）（6）下求y , xj ,使（1）式给出的Z最大。例12在汽轮机转子叶片的安装设计中有如下的问题：由于考虑到共振等因素，各个叶片的质量和形式需要微小的差别。这样当转子转动时，各个叶片产生的惯性离心力的大小就有差异，以至形成总的偏离轴心的作用力。设计中要将各叶片适当排列，让不同方向的离心力尽量抵消，使总的离心力达到最小。由于叶片数量很多（如一百以上），经验方法难以奏效，所以希望用建模方法找到最佳的叶片排列方案。假设有n个叶片，已知它们转动时产生的离心力的大小为口，（j =1,2，n）,转子的一周分为n等分，各分点表示安装叶片的位置，其幅角为中k =2kn/n, （k=1,2，n）,于是当叶片j安装在位置k上时，产生的离心力（向量）可用复数f （j, k） - rjei k, ei k 二cos k i sin k01变量表示。叶片的安装方案可以看作一个任务分派问题，我们引入1 xjk =0,叶片j安装在位置k否则n n n n=、 fpCOSpk - ；：q)XjkXpq j 1 k4p4 q 4(1)(2)(3)(4)则n个叶片的合力（向量）为问题的目标函数可取合力F的模的平方n niZ = XX rje xjkj m k约束条件显然为n二 Xjk =1, j = 1,2, nk 4n“ Xjk =1, k=1,2, ,n j 4Xjk =0,1 j,k=1,2, ,n由于乘积项Xjk Xpq在（1）式中出现，这是一个二次规划模型。

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