函数不等式恒成立问题经典总结
6页1、函数、不等式恒成立问题解法(老师用)恒成立问题的基本类型:类型1:设,(对于任意实数R上恒成立)(1)上恒成立;(2)上恒成立。类型2:设(给定某个区间上恒成立)(1)当时,上恒成立,上恒成立(2)当时,上恒成立上恒成立类型3:。类型4: 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有:例1:若不等式对满足的所有都成立,求x的围。解析:我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为:,;令,则时,恒成立,所以只需即,所以x的围是。二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有:(1)上恒成立;(2)上恒成立例2:若不等式的解集是R,求m的围。解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0。(1)当m-1=0时,元不等式化为20恒成立,满足题意;(2)时,只需,所以,。三、利用函数的最值(或值域)(1)对任意x都成立;(2)对任意x都成立。简单计作:“大的大于最大的,小的小于最小的”。由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3:在ABC中,已知恒成立,数m的围。解析:由,恒成立,即恒成立,例4:(1)求使不等式恒
2、成立的实数a的围。解析:由于函,显然函数有最大值,。如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题:(2)求使不等式恒成立的实数a的围。解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值围的变化,这样使得的最大值取不到,即a取也满足条件,所以。 所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。例5:已知,数a的取值围。解析:由,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象,如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交,则由得到a分别等于2和0.5,并作出函数的图象,所以,要想使函数在区间中恒成立,只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证,而才可以,所以。 例6:若当P(m,n)为圆上任意一点时,不等式恒成立,则c的取值围是( )A、 B、C、 D、解析:由,可以看作是点P(m,n)在直线的右侧,而点P(m,n)在圆上,实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。,故选D。同步练习1、设其中,如果时
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