函数不等式恒成立问题经典总结

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）恒成立问题的基本类型：类型1：设，(对于任意实数R上恒成立)（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（给定某个区间上恒成立）（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4： 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的围是。二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。三、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知恒成立，数m的围。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的围。解析：由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知，数a的取值围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值围是（ ）A、 B、C、 D、解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。同步练习1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值围。分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.恒成立。令，又则对恒成立，又在上为减函数，。2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，数的取值围。分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：是增函数对于任意恒成立对于任意恒成立对于任意恒成立，令，所以原问题，又即 易求得。3、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，数a的取值围。方法一）分析：在不等式中含有两个变量a与x，本题必须由x的围（xR）来求另一变量a的围，故可考虑将a与x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值围。解：原不等式当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立设则方法二）题目中出现了sinx与cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t-1,1,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在-1，1单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a>0a<24、 设f(x)=x2-2ax+2,当x-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值围。分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x-1,+)，F(x) 0恒成立；）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得-3a-2;综上所述：a的取值围为-3，1。5、当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值围。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),<恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需故loga2>1,a>1,1<a2.6、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，数a的取值围。分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a的围为，）。7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的围要求x的相应围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x<-1或x>3.方法二：即解得：x<-1或x>3. /