辽宁名校数学模拟卷分类汇编二函数与导数可编辑

1、 2021年优秀模拟试卷分类汇编第二局部:函数与导数1.(2021丹东一模) 函数. (I)假设,求函数的极值; (II)假设对任意的,都有成立,求的取值范围.2.(2021丹东二模) 对任意,直线都不是的切线. (I)求的取值范围; (II)求证在上至少存在一个,使得成立. 3.(2021沈阳一模) 设函数.()求函数的单调递增区间;()设函数在上是增函数,且对于内的任意实数,当为偶数时,恒有成立,求实数的取值范围; 当是偶数时,函数,求证:.4.(2021沈阳三模) 函数fx=x-lnx+a.(a是常数) I求函数fx的单调区间;II 当在x=1处取得极值时,假设关于x的方程fx+2x=x2+b在,2上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;III求证:当时.5.(2021抚顺模拟) 函数,(为常数,为自然对数的底). ()假设函数在时取得极小值,试确定的取值范围; ()在()的条件下,设由的极大值构成的函数为,试判断曲线只可能与直线、(,为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.6.(2021全国四校二模) 定义在正实数集上的函数,其中.()设两曲线,有公共点,且在该点处的切

2、线相同,用表示,并求的最大值;()设,证明:假设,那么对任意, 有.7.(2021全国四校三模)对任意的恒有成立。 (1)求正数与的关系; (2)假设对恒成立,求函数的解析式; (3)证明:8.(2021全国四校一模)函数 (I)证明函数在区间(0,1)上单调递减; (II)假设不等式都成立,(其中e是自然对数的底数),求实数a的最大值。9.(2021大连二模)函数 (1)设两曲线与有公共点,且在公共点处的切线相同,假设,试建立关于的函数关系式; (2)在(1)的条件下求的最大值; (3)假设时,函数在(0,4)上为单调函数,求的取值范围。10.(2021模拟题)函数(). (1)当时,求函数在上的最大值和最小值; (2)当函数在单调时,求的取值范围; (3)求函数既有极大值又有极小值的充要条件。11.(2021锦州三模)设函数 (I)当图像上的点到直线距离的最小值; (II)是否存在正实数a,使对一切正实数x都成立?假设存在,求出a的取值范围;假设不存在,请说明理由.12.(2021锦州二模)()的单调区间和最值;()假设13.(2021沈阳二模) 函数满足, 当时,当时, 的最大值

3、为-4.I求实数的值;II设,函数,.假设对任意的,总存在,使,求实数的取值范围.14.(2021预测)函数(aR)。 (I)我们称使0成立的x为函数的零点。证明:当a1时,函数只有一个零点; (II)假设函数在区间(1,+)上是减函数,求实数a的取值范围。15.(2021东北三校三模) 定义:(其中)。 (1)求的单调区间; (2)假设恒成立,试求实数a的取值范围; (3)记的导数,当a1时,对任意的,在区间上总存在k个正数,使成立,试求k的最小值。 函数 (1)假设函数在定义域内单调递增,求的取值范围; (2)假设且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围; (3)设各项为正的数列满足:求证:2021年优秀模拟试卷分类汇编第二局部:函数与导数详解答案1.解:(I),(2分),得,或,列表:2+0-0+极大极小函数在处取得极大值, (4分)函数在处取得极小值;(6分)(II)方法1:,时,(i)当,即时,时,函数在是增函数,恒成立;(8分)(ii)当,即时,时,函数在是减函数,恒成立,不合题意 (10分)(iii)当,即时,时,先取负,再取,最后取正,函数在先递减,再

4、递增,而,不能恒成立;综上,的取值范围是 (12分)方法2:,(i)当时,而不恒为0,函数是单调递增函数,恒成立;(8分)(ii)当时,令,设两根是,当时,是减函数,而, (10分)假设,不可能,假设,函数在是减函数,也不可能,综上,的取值范围是 (12分)方法3:(i)当,即时,函数在上为增函数,恒成立;(ii)当,即,或时, 假设,在增函数,恒成立;(8分)假设,由,得 设,列表:+0-0+极大极小任意的,恒成立,而,或,(10分)与矛盾,也与矛盾,以上两式都与矛盾,对任意的,不能恒成立,综上,的取值范围是 (12分)2. 解:(I),(2分)对任意,直线都不是的切线,实数的取值范围是; (4分)(II)方法1:问题等价于当时, (6分)设,在上是偶函数,故只要证明当时, 当上单调递增且, ;(8分)当,列表: + 0 - 0 + 极大 极小 在上递减,在上递增,(10分),时,时,假设,那么;假设,那么;在上至少存在一个,使得成立. (12分)方法2:反证法假设在上不存在,使得成立,即,设,在上是偶函数,时, (6分)当上单调递增且, ,与矛盾;(8分)当,列表: + 0 - 0

5、 + 极大 极小 在上递减,在上递增,(10分),时,时,矛盾;,矛盾;综上,与矛盾,假设不成立,原命题成立. (12分)3. 解:由,得函数fx的定义域为. 1分()当k为偶数时,那么,又,即,得x,所以此时函数的单调递增区间为.当k为奇数时,那么在定义域内恒成立,所以此时函数的单调增区间为 4分()函数在上是增函数在上恒成立,即在上恒成立,即,. 6分由()可知当k为偶数时,得0x,即在为减函数,.又对于内的任意实数x1,x2,当k为偶数时,恒有成立,即,所以, 由得 8分由()可知,即证,9分由二项式定理即证 10分设Sn,那么Sn.两式相加得2Sn,即Sn,所以原不等式得证 .12分4. I 由由函数的定义域为, ,由得,由得,所以函数的减区间为,增区间为. 4分(II)由题意,得 , a=0 .5分由知fx=x-lnx,fx+2x=x2+b ,即 x-lnx+2x=x2+b , x2-3x+lnx+b=0,设=x2-3x+lnx+bx0,那么=2x-3+=,当变化时,的变化情况如下表:x,111,220-0+b-ln2?b-2?b-2+ln2 .6分方程fx+2x=x2+b在

6、,2上恰有两个不相等的实数根, ,+ln2b2,即.8分III由I 和II可知当时,即,当时, . 10分令(),那么.所以当时,即,.12分5. 解:() ,令,得或,2分 当时,恒成立,此时单调递减; 当时,假设,那么,假设, 那么,是函数的极小值点; 2分当时,假设,那么,假设,那么,此时是函数的极大值点,综上所述,使函数在时取得极小值的的取值范围是 2分 ()由()知,且当时,因此是的极大值点,于是2分,令,那么恒成立,即在是增函数,所以当时,即恒有,2分又直线的斜率为,直线的斜率为,所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切 2分 6. ()设交于点,那么有 ,即 (1)又由题意知,即(2)2分由(2)解得 将代入(1)整理得4分令,那么时,递增,时递减,所以 即,的最大值为 6分 ()不妨设,变形得 令,高.考.资.源+网在内单调增,同理可证命题成立 12分7. 解:(1)设,易知,由恒成立,所以函数在处取得最大值。又在处取得极大值,符合题意,即关系式为(3分) (2)恒成立,令,有,(5分), 即对恒成立, 须函数(7分) (3)由(2)知:(9分)即(12分) 8. 解

7、:(I)1分 上单调递减。 4分 (II)不等式 由,5分 设,6分 7分 设8分 由(I)知 , 11分 故函数 即 12分9. 解:(1)因为与在公共点处的切线相同。由题意知即,2分解得或(舍去),4分. (2)令,那么,当变化时,及的变化情况如下表:极大值所以,时,有最大值 .7分 (3).在上恒为单调函数,所以,或恒成立,或在时恒成立,(舍)或对恒成立.9分对恒成立,或.综上, 或.12分10. 【解析】(1)时,函数在区间仅有极大值点,故这个极大值点也是最大值点,故函数在最大值是,又,故,故函数在上的最小值为。(4分)(2),令,那么,那么函数在递减,在递增,由,故函数在的值域为。假设在恒成立,即在恒成立,只要,假设要在在恒成立,即在恒成立,只要。即的取值范围是。(8分) (3)假设既有极大值又有极小值,那么首先必须有两个不同正根,即 有两个不同正根。故应满足,当时,有两个不等的正根,不妨设,由知:时,时,时,当时既有极大值又有极小值.反之,当时,有两个不相等的正根,故函数既有极大值又有极小值的充要条件。(12分) 11. 解:()由 为减函数 那么令 所求距离的最小值即为到直线的距离 ()假设存在实数a满足条件,令 那么 由 为减函数 当为增函数 的取值范围为12. 解:()x1,假设a1,x1,那么fx0, fx在1,+)上连续, fx在1,+)上是单调递增函数, 当a1,x1时,fxminf11, 函数有最小值1,无最大值. -(4分) ()记gxfx-2axx2-2alnx-2ax, . 充分性:假设,那么gxx2-lnx-x, gx2x2-x-12x+1x-1. 当x0,1时,gx0

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