概率论与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

1、 第 5 章 大数定律与中心极限定理一、 填空题：1.设随机变量，方差，则由切比雪夫不等式有 .2.设是n个相互独立同分布的随机变量，对于，写出所满足的切彼雪夫不等式 ，并估计 .3. 设随机变量相互独立且同分布, 而且有, , 令, 则对任意给定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量满足：与都存在, 则对任意给定的, 有, 或者由于随机变量相互独立且同分布, 而且有 所以4. 设随机变量X满足：, 则由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足, 则对任意 的, 有由此得5、设随机变量，则 .6、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则 . 7、设表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，是事件A在每次试验中出现的概率，则 .8. 设随机变量, 服从二项分布, 其中, 那么, 对于任 一实数x, 有 0 .9. 设为随机变量序列,为常数, 则依概率收敛于是指 1 ,或 0 。10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X为100盏灯中开着的灯数, 则由

2、切比雪夫不等式估计, X落 在75至85之间的概率不小于. 解：, 于是 二计算题：1、在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A发生的次数在450至550次之间的概率. 解：设表示1000次独立试验中事件A发生的次数，则2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率.解：设X表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则由此 P(通信系统能正常工作)3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率. 解：某时刻所使用的终端数7由棣莫弗拉普拉斯定理知4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.解：设去阅览室学习的人数为, 要准备k个座位.查分布表可得 要准备539个座位,才能以99%的概

3、率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.5随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。 解：设 h表 示 六 颗 骰 子 出 现 的 点 数 总 和。 xi，表 示 第 i 颗 骰 子 出 现 的 点 数 ，i = 1，2，6 x1， x2， ，x6 相 互 独 立 ， 显 然 6. 设随机变量 相互独立，且均服从指数分布 为 使 ， 问： 的最小值应如何 ？解: 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 即 , 从 而 n 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?解： 设n为至少应取的产品数，是其中的次品数，则，而所以由中心极限定理知，当n充分大时，有， 由查表得 8(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独

4、立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95?解：(1)设表示正常工作的元件数，则，由中心极限定理可知(2)设表示正常工作的元件数，则 9一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm ，均方差为0.05 mm，规定总长度为20 0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：设 每 个 部 分 的 长 度 为 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi ) = 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依题意 ，得合格品的概率为 10计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间0.5，0.5 上服从均匀分布，求1200个数相加时误 差总和的绝对值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：设 x1 ， x2 ， xn 表示取整误差, 因它们在 0.5 ，0.5

5、上服从均匀分布 ， 故 有 根 据 同 分 布 的 中 心 要 极 限 定 理 ， 得 =( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1= 2 0.84131 = 0.682611将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛-拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概 率 。已知 ：(1) = 0.8413；(2) = 0.9772 ； 当 x 4 , (x) =1。解：设 x 为 掷 100次中出现正面的次数 ，它服从二项分布B ( 100， )这 里 由 隶 莫 佛 - 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得 查 N ( 0， 1 ) 分 布 函 数 表 ， 得 P 60 x 100 = 10.977 = 0.023 . 12 .有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯. 如果从中挑4杯, 能将甲种酒全部 挑出来, 算是成功一次. (1)某人随机地去猜, 问他成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒. 他连续试验10次, 成功3次. 试推断他是猜对 的, 还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的). 解：(1)设A=试验成功一次, 则有(2)设X：试验10次成功的次数, 则由于因此随机事件是一个小概率事件, 根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理, 随机事件是不大可能发生的, 但它却发生了, 因此我们要以断定此人确有区分酒的能力.13. 保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金 额为2万元. 根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5. 这个新保险品种预计需 投入100万元的广告宣传费用. 在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参 保, 才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%？解：设参保人数为N人, 则由14、证明题 :设随机变量X的密度函数为 求证： 证：由切比雪夫不等式得 48

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