勾股定理经典例题详解
10页1、word勾股定理经典例题详解知识点一:勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释:1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 3理解勾股定理的一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知识点二:用面积证明勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形。图1中,所以。方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形。 图2中,所以。方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图31和32所示的两个形状一样的正方形。 在31中,甲的面积=大正方形面积4个直角三角形面积, 在32中,乙和丙的面积和=大正方形面积4个直角三角形面积, 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。,所以。知识点三:勾股定理的作用1直角三角形的两条边长求第三边;2直角三角形的一条边,求另两边的关系;3用于证明平方关系的问题; 4利用勾股定理,作出长为的
2、线段。2. 在理解的根底上熟悉如下勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉如下勾股数,对解题是会有帮助的:3、4、55、12、13;8、15、17;7、24、25;10、24、26;9、40、41如果(a,b,c)是勾股数,当t0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法1、在RtABC中,C=90(1)a=6, c=10,求b,(2)a=40,b=9,求c;(3)c=25,b=15,求a.思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b=(2) 在ABC中,C=90,a=40,b=9,c=(3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a=总结升华:有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。如:不规如此图形的面积,可转化为特殊图形求解,此题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反
3、三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,如此AB的长是多少?【答案】ACD=90AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的长是4.类型二:勾股定理的构造应用2、如图,:在中,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,如此有,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,如此因,的两个锐角互余在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 根据勾股定理,在中,. 根据勾股定理,在中,. . 总结升华:利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图,:,于P. 求证:. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这
4、几条线段的平方之间的关系.解析:连结BM,根据勾股定理,在中,. 而在中,如此根据勾股定理有. 又,. 在中,根据勾股定理有,. 【变式2】:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。分析:如何构造直角三角形是解此题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据此题给定的角应选后两种,进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。解析:延长AD、BC交于E。A=60,B=90,E=30。AE=2AB=8,CE=2CD=4,BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=类型三:勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。1求A、C两点之间的距离。2确定目的地C在营地A的什么方向。思路点拨:把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。解析:1过B点作BE/ADDAB=A
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