勾股定理经典例题详解

word勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 2勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 3理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形。图1中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形。 图2中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图31和32所示的两个形状一样的正方形。 在31中，甲的面积=大正方形面积4个直角三角形面积, 在32中，乙和丙的面积和=大正方形面积4个直角三角形面积, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图4所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。，所以。知识点三：勾股定理的作用1直角三角形的两条边长求第三边；2直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题； 4利用勾股定理，作出长为的线段。2. 在理解的根底上熟悉如下勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数，显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉如下勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90°(1)a=6， c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1) 在ABC中，C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在ABC中，C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在ABC中，C=90°，c=25，b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规如此图形的面积，可转化为特殊图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】:如图B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,如此AB的长是多少?【答案】ACD=90°AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90°且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，如此有，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长. 解析：作于D，如此因，的两个锐角互余在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图，：，于P. 求证：. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，. 而在中，如此根据勾股定理有. 又，. 在中，根据勾股定理有，. 【变式2】：如图，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。1求A、C两点之间的距离。2确定目的地C在营地A的什么方向。思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。解析：1过B点作BE/ADDAB=ABE=60°30°+CBA+ABE=180°CBA=90° 即ABC为直角三角形 由可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以2在RtABC中，BC=500m，AC=1000mCAB=30°DAB=60°DAC=30° 即点C在点A的北偏东30°的方向总结升华：此题是一道实际问题，从条件出发判断出ABC是直角三角形是解决问题的关键。此题涉与平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如下列图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米卡车宽度一半在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.米.米因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进展比拟，得出结论 解析：设正方形的边长为1，如此图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD3，AB+BC+CD3图3中，在RtABC中同理图3中的路线长为图4中，延长EF交BC于H，如此FHBC，BHCH由FBH与勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此图中总线路的长为4EA+EF 32.828>2.732 图4的连接线路最短，即图4的架设方案最省电线总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比拟多，需要运用所学的数学知识进展计算，比拟从中选出最优设计此题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得提问：勾股定理 AC cm勾股定理答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如下列图1作直角边为1单位长的等腰直角ACB，使AB为斜边；2以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；3顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如下列图在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出如下原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚正确2原命题：对顶角相等正确3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等正确4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上正确总结升华：此题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。思路点拨：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。【答案】：连结ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25勾股定理AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°勾股定理逆定理【变式2】:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.分析:此题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可证明： 所以ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB