电动力学第1章矢量分析

1、5. 格林定理6. 矢受场的惟一性定理7亥姆霍兹定理&正交曲面坐标系M* 矢量分析主 要 内容梯度、散度.旋度、亥姆霍兹定理丄.标量场的方向导数与梯度2矢量场的通董与散度3矢童场的环童与旋度4无散场和无旋场rrnrrn标童场（0）和矢童场（A ）rrnrrn以浓度表示的标童场C以箭头表示的矢童场力rrn1标量场的方向导数与梯度标量场在某点的方向 导数表示标量场自该点沿 某一方向上的变化率.标量场0在P点沿/方向上的方向导数 号;定义为d（P _ 亦 O（P） -G（尸） dl L 一 J监zVibi rn rn mn梯度是一个矢量.某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向.在直角坐标系中，标量场 0的梯度可表示为grad。= - + evex式中的grad是英文字gradient的缩写2.矢量场的通童与散度矢童A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量4通过该有向曲面S的通量，以标量W表示，即护=丄A VS通量可为正、负或零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）

2、闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量 一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢董通过该 闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源.已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数（）之比，即，14 4 r i t * - K K f 仝, $ t r x X X彳 4$k 轧4i0式中 div是英文字divergence的缩写；AV为闭合面S包围的体积.A-dS divA= limAV-H)上式表明，散度是一个标童，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量.直角坐标系中散度可表示为div A =dx dy dz因此散度可用算符表示为div A = V 4散度定理div A dV = J A dS或者写为L V-Ad V = | A-dS从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和 体积分的关系. 从物理角度可以理解为散度定理建 立了区域 V中的场和包围区域V的边界S上的场之 间的关系.因此，如果已知区域中的场，根据散 度定理即可求出边界S上的场，反之亦然。E3Z1 LE例求空间任一点位置矢量r

3、的散度oX()解已知求得竺+空+支=3 去 dy dz0算子口aaax dxy dyz dz标量场的梯度-&(D &D d(P7瓦7石7瓦矢童场的散度f . 4 d5div A = lim 丄匚AV-0 y矢量场的旋度?坐+坐+丝dx dy dz.3矢童场的环童与旋度矢量场A沿一条有向曲线/的线积分称为矢童 场A沿该曲线的环董，以厂表示，即可见，若在闭合有向曲线/上，矢董场A的方向处 处与线元d/的方向保持一致，则环童厂0;若处 处相反，则厂v0可见，环董可以用来描述矢量 场的旋涡特性.rBi rn im已知真空中磁通密度沿任一闭合有向曲线2的 环童等于该闭合曲线包围的传导电流强度/与真空磁导率“的乘积。即血从d/ = ZV式中，电流/的正方向与d/的方向构成右旋关系。环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。1 LEJ旋度是一个矢量以符号curl A表示矢量A的旋度，其方向是使矢童M具有最大环童强度的方向,其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中curl是旋度的英文字；s为最大环童强度

4、的方 向上的单位矢量，M为闭合曲线/包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的 闭合曲线上的最大环量.直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为curl 4 = V x Aaaa或者curl a =珥页dxdydzA Av 4无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性.因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性.函数的连续性是可微的必要条件.因此在场量发 生不连续处，也就不存在前述的梯度.散度或旋度.旋度定理(斯托克斯定理)J (curl A).15= A d/ 或者 J、(VxA) dS = J A di从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线 积分的关系.从物理角度可以理解为旋度定理建立了 区域S中的场和包围区域S的边界/上的场之间的关 系.因此，如果已知区域S中的场，根据旋度定理即 可求出边界I上的场，反之亦然.例 试证任何矢量场A均满足下列等式f (Vx A)dV = -|Js A xd5A式中，S为包围体积V的闭合表 面.此式又称为矢童旋度定理， 或矢童斯托克斯定理.证设C为任一常矢量，则V (C x A) = A VxC C Vx 4 =

5、 C x 4V(CxA) = A-VxC-CVxA = -CVxA那么对于任一体积V,得 v-(CxA)dV =-C jVx AdV根据散度定理，上式左端JvV.(CxA)dV= (Cx A) dS C (AxdS) = C-J s Axd5求得C-j v(VxA)dV=-C AxdS4.无散场和无旋场散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处 为零的矢量场称为无旋场.可以证明V *(Vx A) = 0上式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等 于零.因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的 旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场.又可证明Vx(V) = 0上式表明，任一标董场的梯度的旋度一定 等于零.因此，任一无旋场一定可以表示为一个 标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋 场。5格林定理设任意两个标量场0及0, 若在区域V中具有连续的二阶偏 导数，可以证明该两个标量场0 及”满足下列等式j v(V 片 + YVSdU =、片式中S为包围V的闭合曲面；丝为标量场。在S表面 dn的外法线S方向上的偏导数.根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 （匸3 +旳SdV =此（炸0）心 上两式称为

6、标童第一格林定理.基于上式还可获得下列两式：f （yv2W）dv = |jj jyvp-（p p） ds j v（加。-W）dV =左肿攀 一 o 学dS 上两式称为标童第二格林定理.设任意两个矢量场 卩与0 ,若在区域V中具有 连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及 0满足下列等式：J v(VxP).(Vxe)-P-VxVxgJdV =| JPxVxg) dS式中S为包围U的闭合曲面；面元dS的方向为S的外 法线方向。上式称为矢量第一格林定理.基于上式还可获得下式：J IC (Vx Vx F) F-(Vx V xQdV= J|Z, xVx(?-2xVxP|d5此式称为矢量第二格林定理。格林定理建立了区域v中的场与边界s上的场 之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的 求解问題转变为边界上场的求解问题.格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满 足的关系.因此，如果已知其中一种场的分布特性， 即可利用格林定理求解另一种场的分布特性.6.矢童场的惟一性定理位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边 界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的 矢量场被惟一地确定。已知散

7、度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性 定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定.rRi rFi fm7.亥姆霍兹定理若矢童场F(r)在无限区域中处处是单值的，且其 导数连续有界，源分布在有限区域中，則当矢量场 的散度及旋度给定后，该矢童场F(f)可以表示为阳)式中F(r) = -V(r) +Vx A(r)F(r) = -V(r) + V x A(r)该定理表明任一矢童场均可表示为一个无旋 场与一个无散场之和.矢量场的散度及旋度特性 是研究矢量场的首要问题.&正交曲面坐标系直角坐标系（x.y.z）直角坐标系圆柱坐标系球坐标系微分单元的表示d/ = e.dt+evdy+e;dzdS =eMdydz4 e/Lxxk4 e.dulydV = dx dr dzclZ -= erdr+er d+c.drdS =crr dct： +qd 厂 ck + ey d/d。dV = r dr(.1/ = erdr 4- e0 ixO + 厂sinOd。dLS e/sin(JO(J0 + winO(J/*(J0 + s/vb(10 dV = r2 sinOckdOd。ri rFix= rcos y - rsin z = zr = yjx2 + y2 Z2坐标变量的转换r =卜 + by0 = arctan Z

《电动力学第1章矢量分析》由会员人***分享，可在线阅读，更多相关《电动力学第1章矢量分析》请在金锄头文库上搜索。