用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤
9页1、用导数解决函数的单调性极值最值的方法步骤用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师 王新敞 极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若x0满足f(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点,顺
2、次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值 在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值;在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:求f(x)在(a,b)内的极值;将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值 22例1 求列函数的极值:y=(x-1)(x-2);y=22/2x-2 2x+12解:Qf(x)=(x-1)(x-2),f(x)=(x-1)(5x-7)(x-2) /令f(x)=0,得驻点x1=1,x2=7,x3=2 5x f/(x) f(x) (-,1) + 1 0 极大 7(1,) 5- 7 50 极小 7(,2)
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