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一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

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1、方程无实根;厶=0时，方程有且只有一个实根，或者说方程有两个相等的实根;2a方程有两个不相等的实根。xi,2_ - b 二 b2 -4ac- 2a（二）二次函数的一般形式：形如2y = ax +bx + c(a0)=y=ax +b 2 I 2a4ac - b24a其中a,b,c为常数，x为自变量。顶点坐标为P -b 4ac-b22a 4a ，其中直线x匕为2a对称轴,22b1、（ i）a 0时，函数y=ax bx c的图象开口向下，函数y = ax bx c在x = -2a取到最大值，即4ac-b24ac-b2Ymax，对任意 x R, y 4a4a（2）a 0 时,22b函数 y = ax bx c的图象开口向上，函数 y二ax bx c在x =-2a取到最小值，即4ac-b24ac-b2Ymin，对任意 X R, y -4a4a2、2 .二次函数y = ax bx c 0与x轴交点个数的判断:0时，函数y =ax2 bx c a = 0与x轴无交点;=0时，函数y =ax2 bx c a = 0与x轴相切，有且只有一个交点;-0时，函数y =ax bx c =0与x轴有两个交点。

2、3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、:.（三）一元二次不等式的概念：形如ax2 bx 0 a = 0其中连接ax2 bx c与0的不等号可以是0A = 0A 0) 图象I/7丿2X仁X22ax + bx + c = 0(a a 0 J根X = x1或 X = x2bX0 解集xx J2a：R2ax +bx+cc0(a 0 解集彳为 X X2 00基本步骤：化正-计算厶求根写解集（大于取两边，小于取中间）【典型例题】【类型一】一元二次方程 ax2 bx 0 a = 0的解法【方法一】求根公式法步骤：计算.:；若：0 ,则方程无实根；若厶一 0，利用求根公式X1,2-b 二 b24ac2a【例1】求解下列方程(1) x2 4x -4 =02(2) 2x x -1 = 0【练习】解下列方程（1） 2x2 5x-3=0（2） x2-6x=8【方法二】十字相乘法厶一 0,也就是保证方程利用十字相乘法求解方程 ax2 bx c = 0 a严0的前提条件是:ax2 bx c =0 a = 0必须有实根.十字分解依据：对于方程 ax2 bx 0 a = 0而言，a,

3、b, c均为整数。当ac 0时，将ac分解为两个约数之和为 b ；当ac : 0时，将ac分解为两个约数之差为 b或- b. 【例2】求解下列方程2 2（1）x -6x 8 =0（2）x -2x -15 = 02(2) 2x 5x 2 =0【练习】解下列方程（1）x2 -8x =20【类型二】二次函数最值的求法【方法一】公式法a : 0时，函数 y = ax2 bx c在xK取到最大值，即2aymax4acb2，对任意4a4ac b2x R, y -4aa 0时，函数y=ax2 bx c 在 x =2aK一取到最小值，即ymin4ac - b2，对任意4aX. R,y_ 色Z4a【方法二】配方法/2t b) 1x+x | + c = aa丿12 2 b2a2y = ax bx c = ab l2a丿/r2b I0丿22b . 4ac b=a x + 一 i + 2a 丿 4a【例3】求下列函数的最值(2) y = 2x2 -3x 5(1) y - -x2 -4x 8【类型三】一元二次不等式的解法【例4】解下列不等式(1) 3x2 -7x 2 ： 0 ；2(2)- 6x - x 2 乞

4、0【练习】(1)不等式4x2 1 ： 4x的解集是(2)不等式2x -1 x 2.7的解集是(3)不等式x9-x . 0的解集是【类型四】分式不等式的解法解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式(组) 有根式就考虑大于等于零)：(有分母就要考虑分母不等于零，g：)gfx gx 0,f(x)_0 二g(x)f x g x _ 0且 g x - 0,f (x)而 3f x g x : 0,g(x)f x g x 乞 0且g x =0,【例(1)5】解下列不等式-1；x為0 ；(3)1(4)2一 039 x x1解下列方程(1) x2 6x - -82(2) 5x2 T1x 2 =0(3) 3x27x 2 = 02(4) x -x -6 = 022不等式3x - 16x 16 _ 0的解集是 .1 2x3.不等式1的解集是X _124不等式_x 5x _7 :： 0的解集是 .25.不等式 4x4x 0的解集是 .6解下列不等式或方程2 22(4) x 4x 5 _0 ；(1) 2x -x-15=0 ；(2) 6x 6x1=0 ；(3) _3x2 -2x 8 _ 0 ；(5) x _3 ；2(6)5 ；x1x7.已知集合A = XX2 -6x-16三0*，集合B = ty y = -2x2 4x 11则下列式子中正确的是AA=3B. B - AC. A 二 B( )D. B

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