2017年北京高考理科数学试题及答案

1、绝密启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)若集合 A=x| 2x1, B=x|x3,贝U A?B=(A) x| -2x-1(B) x| 2x3(C) x| 1x1(D) x|1x3(2)若复数(1 i) (a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(A) (-OO, 1)(B) (-8, 1)(C) (1, +8)(D) (-1, +8)(3)执行如图所示的程序框图，输出的 s值为,也I38(A) 2(B) 2(C) 5(D) 53(4)若 x, y 满足x2,则x + 2y的最大值为 yw x,(A) 1(B) 3(C) 5(D) 9，一v1 一 ，、(5)已知函数f (x)3x1,则f (x)3(A)是奇函数，且在R上是增函数(C)是奇函数，且在R上是减函数(B)是偶函数，且在

2、R上是增函数(D)是偶函数，且在 R上是减函数m nbc,则a+bc”是假命题的一组整数 a, b, c的值依次为.(14)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1, 2, 3。记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则 Qi, Q2, Q3中最大的是 。记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi, p2, p3中最大的是三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)在 ABC中，A =60, c=3 a.7(I )求sinC的值； (n)若a=7A ABC的面积.(16)(本小题14分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面 PAD,平面ABCD,点M在线段PB上，PD平面 MAC,PA=PD=6 ,AB=4.(I)求证：M为PB的中点；(II)求二面角B-PD-A的大小；(III)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。(17)(本小题13分)为

3、了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各 50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“ *表示服药者，“ +”表示为服药者.指标上(I )从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率;(n)从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标 x的值大于1.7的人数，求4的分布列和数学期望 E d(出)试判断这100名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论)(18)(本小题14分)1已知抛物线C: y2=2px过点P(1,1).过点(0,一)作直线l与抛物线C交于不同的两点 M,N,2过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(I)求抛物线 C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(n )求证：A为线段BM的中点.(19)(本小题13分)已知函数 f(x)=excosx-x.(I)求曲线y= f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)在区间0,3上的最大值和最小值.(20)(本小题13分)设an和bn是两个等差

4、数列，记cn=maxbi -ai n,b2 -a2n, 与 Wnn(n=1,2,3, ；)其中maxx1,X2,普表示X1,X2,Xs这S个数中最大的数.(I)若an=n, bn=2n-1,求C1,C2,C3的值，并证明cn是等差数列；(n)证明：或者对任意正数M,存在正整数 m,当n而时，4 M ；或者存在正整数nm,使得Cm,Cm+1,Cm+2, 是等差数列.2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）答案一、(1) A(2) B(3)C(4) DA(6) AB(8) D(9) 2(10) 1(11) 1(12)79(13)1, 2, 3 (答案不唯一)(14) Q1P2(15)(共 13 分)3解：(I )在 ABC 中，因为 A 60 , c -a , 7所以由正弦定理得sine csLA 3 _1 3_J. a 7214(n)因为a 7,所以c 3 7 3. 7由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA得 72 b2 32 2b 3 -, 2解得b 8或b 5 (舍).所以 ABC 的面积 S 1bcsin A 18 3 673 . 222(16)(共 14

5、分)解：(I)设AC, BD交点为E ,连接ME .因为PD /平面MAC ,平面MAC I平面PBD ME ,所以PD / ME .因为ABCD是正方形，所以 E为BD的中点，所以 M为PB的中点.(II)取AD的中点O ,连接OP , OE .因为PA PD ,所以OP AD .又因为平面PAD 平面ABCD,且OP 平面PAD,所以OP 平面ABCD.因为OE 平面ABCD,所以OP OE.因为ABCD是正方形，所以 OE AD .如图建立空间直角坐标系O xyz,则 P(0,0, J2) , D(2,0,0) , B( 2,4,0),uuuruuir_BD (4, 4,0) , PD (2,0,的. uuur一n BD设平面BDP的法向量为n (x,y,z),则 uuur n PD,即04x 4y 02x 2z 0.2 .于是 n (1,1, 2).平面PAD的法向量为p (0,1,0),所以cos|n II Pl由题知二面角B PD A为锐角，所以它的大小为 -.(III)由题意知 M ( 1,2,) , D(2,4,0), 2uuur MC、2(3,2, ?).设直线MC与

6、平面BDP所成角为，则sinuuuruuuu |n MC | | cos | uuurn|n|MC |2.69所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为2.69(17)(共 13 分) 解：(I)由图知，在服药的 50名患者中，指标 y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标 y的值小于60的概率为150.3.50(n)由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.c2P( 0)温C41 P( 1) CC2 2 P(c22) -4 C2故的期望E（ ） 0（m）在这100名患者中,211 - 2 -36服药者指标1.y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.6,P(1) C43H所以的分布列为012P162316(18)(共 14 分)解：（I ）由抛物线C:2Px 过点 P (1, 1),所以抛物线C的方程为x.抛物线C的焦点坐标为,0）,准线方程为（H）由题意，设直线的方程为y1 kx 一2(k0),l与抛物线C的交点为M（Xi，w）,N(X2,y2).kx4k2x(4 k 4)x 10.x2xx21

7、4k2因为点P的坐标为1),所以直线OP的方程为y点A的坐标为（x1, y1）.直线ON的方程为y2y x,x2点B的坐标为（刈,3）.x2因为y1 汕1 2xix2yy2y2y12x1x2x2(kx1)x2 (kx2)x1 2x1x222x21,、(2 k 2)xix2 2(X2xl)X2X20,所以型2Xi.X2故A为线段BM的中点.(19)(共 13 分)解：(I)因为 f(x) ex cosx x,所以 f (x) eX(cosx sin x) 1, f (0) 0.又因为f(0)1，所以曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y 1.()设 h(x) ex(cos x sin x) 1,则XXh (x) e (cosx sin x sin x cosx) 2e sinx.“ 九当 x (0,2)时，h(x) 0,所以h(x)在区间0,百上单调递减.2 兀 一一，、一所以对任意x (0,万有h(x) h(0) 0,即f (x) 0.所以函数f (X)在区间0,:上单调递减.因此f(x)在区间0, j上的最大值为f (0) 1 ,最小值为f( 6；.(20)(共 13 分)解：(I) G 匕 a1 1 1 0,c2maxb2a1b2a2max12 1,32 21,c3maxb(3al,b23a2,b33a3max13 1,33 2,53 32.当 n 3时，(bk 1 na)也 naj (bk 1 bk) n

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