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不在端点处的最值一定是极值吗

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卖家[上传人]：公****

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常见问题

1、不在端点处的最值一定是极值吗1. 提出问题笔者在一次高二公开课听课中遇到这样的问题：如果函数的最值不在端点处取到，那么这个最值一定是函数的极值。乍一看，好像是对的，学生也一致认为是对的，老师也宣布没错，就讲下一题了。但笔者很快举出了一个反例常函数。比如：y=1,xR,该函数处处都能取到最值，而这个最值却不是函数的极值。事实上，常函数没有极值。课后研讨中，点评老师还给出了另一个反例：y=|x|，该函数x=0在处取到最小值，但这个值不是极值。理由是该函数在x=0处不可导，而函数在某点处导数为零是函数在该点处取极值的必要不充分条件。2. 回归定义那么，这些“反例”正确吗？李邦河院士说：“数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。”让我们回到概念上。苏教版数学必修1第39页：一般地，设y=f(x)的定义域为代如果存在xA,使得对于任意的xA,都有f(x)f(x),那么称f(x)为y=f(x)的最小值，记为y=f(x)。苏教版数学选修2-2(文)第30页：函数图像在点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点附近，点P的位置最高，亦即f（x）比它附近点的函数值都要大。我

2、们称f（X）为函数f（X）的一个极大值。文第32页指出：函数f（x）在x处取得极大值，指在x附近f（X）比其他函数值都大，极大值是相对于函数定义域内某一局部而言的。最大值是相对于函数定义域整体而言的。由这个描述性定义可见，函数的极值是根据单调性来的，函数先增后减，一定出现极大值，函数先减后增，一定出现极小值。极值表征的是函数局部的性质，即某点处的函数值比它附近点的函数值都大（或小）。也就是说，并不涉及函数是否可导。第二个反例不成立。y=|x|在x=0处的函数值比它附近的函数值都要小，所以在该点处取到极小值。那为什么我们常常通过求导，令导数等于0，判断两侧导数值正负求函数的极值呢？那是因为我们在高中接触到的求极值的函数往往是可导的，所以引发了误解。这里的导数为零是有前提的。事实上，数学分析教材（文）给出了费马定理：设函数f在点x的某邻域内有定义，且在点x可导。若点x为f的极值点，则必有f（x）=0。而第一个反例则完全符合定义。常函数处处取到最值，但处处不是极值。3. 错因分析究其原因，还是对极值和最值的概念认识不清。人教社章建跃博士强调：数学教师必须特别重视概念教学，学生的概念理解和应用

3、水平是衡量教学质量的最重要标准。最值的定义借助了高等数学中“上（下）确界”的意义与形式，定义中既含有等式，又含有不等式；既含有全称量词（“任意”、“都有”），又含有存在量词（“存在”），具有较强的逻辑性、抽象性和典型的形式化特征。因此，教学中，教师应当从函数最值的几何直观入手，利用丰富具体的材料、精心设计的问题，经历观察、比较、辨析、归纳、概括等思维活动，经历从图形表征到自然语言到形式化定义的形成过程，达到对概念的实质性理解，感悟蕴含其中的数形结合，切不可一带而过。对于定义中的符号，要仔细推敲，提高学生的数学阅读理解能力。在调查中了解到，很多学生不认为常函数处处取到最值，原因是忽略了最值定义中的等号。最值的教学要求是“理解”。对于极值，教学目标的要求是“了解”。苏教版教材中只给出描述性概念，如果用符号化定义，则可定义为：若函数f在点x的某空心邻域U(x)内对一切xU(x)有f(x)f(x),(f(x)4. 实战练习(1) 对于函数f(x)，如果f(x)c(c为常数)对定义域中的每个自变量x均成立，那么c一定是函数y=f(x)的最大值吗？如果f(x)f(X)对于定义域中的每个自变量x均成立，那么f(x)一定是函数的最大值吗？(2) 如果函数f(x)有极小值f(a),极大值f(b)，那么f(a)一定小于f(b)吗？试作图说明。如果函数f(x)有最小值f(a),最大值f(b),那么f(a)定小于f(b)吗？答案：(1)否；是(2)否；否。

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