2023年北京通州区高三查漏补缺数学试题及答案

1、通州区 2023 年高三年级查漏补缺试题 数 学 试 卷 2023 年 5 月 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。目要求的一项。（1）若集合lg1Ax yx，|3BxZ x，则AB （A）(1,3)（B）1,3)（C）2 （D）1，2（2）已知复数：2(1 2)zi，则 z 在复平面内对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限（3）设ln0.2a，e0.2b，0.2ec，则（A）abc （B）acb （C）cba （D）bca（4）若6234560123456(1)xaa xa xa xa xa xa x，则246+=aaa （A）64 （B）33 （C）32 （D）31（5）数列na中，21a，42a，nnnaaa11（2n），则2023a

2、（A）14 （B）12 （C）2 （D）4（6）等比数列 na的首项为1a，公比为q，前n项和为nS，则“10a”是“nS是递增数列”的 （A）充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知1F，2F分别为双曲线：222210,0yxabab的上，下焦点，点 P为双曲线渐近线上一点，若12PFPF，121tan3PFF，则双曲线的离心率为（A）53 （B）54 （C）45 （D）35 1（8）等腰三角形的屋顶，是我国古代建筑中经常采用的结构形 式 一般说来等腰三角形底边是一定值，假设雨水与屋顶面间摩擦阻力不计，要使雨水从屋顶上流下所需的时间最短，等腰三角形的底角应设计为 （A）30 （B）45 （C）60 （D）72 （9）过直线 yx 上的一点 P 作圆(x5)2(y1)22 的两条切线 l1，l2，切点分别为 A，B，当直线 l1，l2关于 yx 对称时，线段 PA 的长为（A）4 （B）2 2 （C）6 （D）2 （10）函数 f(x)的定义域为 D，若存在闭区间a,bD，使得函数 f(x)同时满足：f(x)在a,b上是单调函数且

3、f(x)在a,b上的值域为ka,kb(k0)，则称区间a,b为 f(x)的“k倍值区间”现有如下四个函数:1()xf xe,22()fxx,3()ln1f xx+（）,4()sin(,)2 2fxx x .那么上述四个函数中存在“2 倍值区间”的有（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）已知log 2,log 3aamn，则2m na .（12）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为_.（13）已知等边三角形 ABC 的边长为 2，A 的半径为 1，PQ 为A 的任意一条直径，则BPCQAPCB .（14）在ABC中，若4AB，ACm，2cos3B，若 ABC中存在且唯一，则ABC面积的最小值为 ；此时 m 的值为 （15）在棱长为 1 正方体1111ABCDABC D中，点满足 1，其中0,1 0,1给出下列

4、四个结论：所有满足条件的点 P 组成的区域面积为 1；2 当1时，三棱锥 1的体积为定值；当1时，点 P 到1AB距离的最小值为 1；当12时，有且仅有一个点，使得1 平面1 则所有正确结论的序号为 .三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数()sin()(0|)2f xx,，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x的解析式唯一确定.（）求()f x的解析式；（）设函数()()()6g xf xf x，求()g x在区间40,上的最大值 条件：()f x为奇函数；条件：()f x图象上相邻两个对称中心间的距离为；条件：()f x图象的一条对称轴为4x.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 （17）（本小题 14 分）如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，ABAD，ABAD，O为BD的中点（）证明：OACD；（）若BCD是等腰直角三角形，90BDC，2CD，点E在棱AD上（与 A，D 不重合），若二面角EBCD的大小为45，求点 D 到面 BCE 的距离 3 （18

5、）（本小题 13 分）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建党 100 周年”的知识竞赛从这两个年级各随机抽取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表 高一 高二 规定成绩不低于 90 分为“优秀”（）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率在高一、高二年级学生中各选出 2 名学生，记这 4 名学生中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列；（）在高一、高二年级各随机选取 1 名学生，用,X Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数写出方差DX,DY的大小关系（只需写出结论）（19）（本小题 15 分）已知椭圆 C:22221xyab(ab0)的离心率为22,椭圆 C 截直线2x 所得线段的长度为2.()求椭圆 C 的方程；()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M，D 为线段 AB 的中点，点 N 是 M 关于 O 的对称点，以 N 点为圆心的圆过原点 O，直线 DF 与N 相切于点 F，求NDNF的最大值.成绩分组 频数 75，80)2 8

6、0，85)6 85，90)16 90，95)14 95，100 2 频率/组距 75 80 85 90 95 100 成绩/分 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 4 （20）（本小题 15 分）已知函数()ln(0)af xaxx ax.（）已知()f x在点(1,(1)f处的切线方程为1yx，求实数a的值；（）已知()f x在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.（）已知()()ag xf xx有两个零点12,x x，求实数的取值范围并证明21 2x xe.（21）（本小题 15 分）已 知：正 整 数 列na各 项 均 不 相 同，*Nn，数 列nT的 通 项 公 式naaaTnn2121.（）若35T，写出一个满足题意的正整数列na的前 5 项；（）若2121aa，naTnn，求数列na的通项公式；（）若kN，都有kan，是否存在不同的正整数,i j，使得iT，jT为大于 1 的整数，其中jin2.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）5 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4

7、 4 分，共分，共 4040 分）分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案 C C A D C B B B C B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）43 （12）0.046 （13）1 （14）16 59；4 53 （15）说明：（14）题前 3 后 2；（15）题全选对 5 分，漏选 3 分，其他情况 0 分。三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 13 分）解：选（）由()f x为奇函数，所以有()()fxf x，即sin(2)sin(2)xx，解得k，kZ 又|2，所以0.3 分 由条件得2T，解得2.所以()sin2f xx.6 分（）()sin2sin2()6g xxx sin2sin2 coscos2 sin33xxx 33sin2cos222xx 3sin(2)6x 10 分 因为0 x 4，所以266x 23.所以当62x 2时，即6x 时()g x取得最大值，最大值为3.13 分 通州区 2023 年高三年级查漏补缺试题 数学参考答案及评分标准 2023 年 5 月 6 选 由条件得2

8、T，解得2.由一条对称轴为4x，可得242k.解得k，kZ.又|2，所以0 所以()sin2f xx.（）()sin2sin2()6g xxx sin2sin2 coscos2 sin33xxx 33sin2cos222xx 3sin(2)6x 因为0 x 4，所以266x 23.所以当62x 2时，即6x 时()g x取得最大值，最大值为3.13 分 （17）（本小题 14 分）（）证明：因为ABAD，O 为 BD 的中点，所以AOBD.又因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO 平面ABD 所以AO平面BCD.因为CD平面BCD，所以AOCD.5 分 7（）设 BC 的中点为 F，以 O 为坐标原点，以 OF，OD，OA 所在直线为 轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)O，(0,1,0)B，(2,1,0)C，(0,1,0)D，设AEAD(01)，则(0,1)E.由题意可知OA是平面的一个法向量，(0,0,1)OA，设平面的一个法向量为，(2,2,0)BC，(0,1,1)BE.则有00n BCn BE，即220(1)(1)0 xyyz 令1x，则

9、1y ，11z 则平面 BCE 的一个法向量为1(1,1,)1n 所以2121cos,211 1()1n OAn OAn OA.所以121 设点 D 到平面 BCE 的距离为 d 则1CD ndn.即点 D 到面 BCE 的距离为 1 14 分 （18）（本小题 13 分）（）高一年级知识竞赛的优秀率为(0.040.02)50.3.3 分 所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%.（）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为310，选中成绩不优秀学生的概率为710；在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为25，选中成绩不优秀学生的概率为35.的所有可能取值为 0，1，2，3，4；5 分 8 2273441(0)()()1052500P；122122373723966(1)()()1010510552500PCC；2211222233372372781(2)()()()()1051010551052500PCC；211222323372276(3)()()1055101052500PCC 223236(4)()()1052500P 所以随机变量的分布列为：P 0 1 2 3 4 441250

10、0 9662500 7812500 2762500 362500 10 分 （）DXDY.13 分 （19）（本小题 15 分）解：（）由椭圆的离心率为22，得222=2()aab.又当2x 时，2222=byba2，得2221bba2，所以2=4a，2=2b.因此椭圆方程为22142xy.5 分(II)设11(,)A xy,22(,)B xy.联立方程22=+,+2=4,ykxmxy 得222(2+1)+4+2-4=0kxxkmxm，由0 得2242mk （*）9 且122421kmxxk，因此122221myyk，所以222(,)21 21kmmDkk，又(0,)Nm，所以222222()()2121kmmNDmkk 整理得：2242224(1 3)(21)mkkNDk，因为NFm，所以2422222224(31)831(21)(21)NDkkkkkNF 令283,3tkt 故21214tk 所以22216161+11(1)2NDttNFtt 因为1ytt 在3+，上单调递增，因此1103ytt 等号当且仅当3t 时成立，此时221+3=4NDNF，NDNF最大值为 2.15 分

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