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2023年北京大学金秋营数学试卷试题真题

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1、2023 年北大数学金秋营第一天 1.有一些石子，每个石子的重量可能为1 2 3 4 5、求最小的正整数N，使得只要这些石子的总重量不小于N，就一定能将这些石子分为5堆，满足第i堆的总重量不小于2023i，15i 2.对于整系数多项式()()11100mmmP xxaxa xam=+，如果不存在次数小于m的整系数多项式()()Q xR x、，使得()()()P xQ x R x、对应的系数模2同余，就称()P x是模2不可约的对正整数n，求所有形如122221naaaxxx+的模2不可约的多项式，其中120naaa 为整数 3.ABCD为圆O的圆内接四边形，ABCD、交于点E，ADBC、交于点F，ACBD、交于点GEF的中垂线分别与AC的中垂线、BD的中垂线交于点H、I，HIO的外接圆和圆O的公共弦分别与AC、BD交于点J、K若EF的中垂线与圆O相切，证明：GJK的外接圆与圆O相切 4.设(),GV E=为简单无向图，对于V的非空子集A，如果A中的顶点两两不相邻，且VA中的每个顶点均与A的某个顶点相邻，就称A是一个极大独立集求无三角形的2023阶图的极大独立集数量的最大值#QQABA

2、YCUogCAAhAAAAgCAwnQCACQkAAACKoGREAIMAAAABNABAA=#2023 年北大数学金秋营第二天 1.甲乙两人由甲开始轮流在黑板上写大于1的整数，要求新写的数不能是已经写的数的自然数系数线性组合，第一个不能写数的人输甲乙谁有必胜策略？2.设n为正整数，求最小的正整数c，使得对任意n次整值多项式()P x及非负整数k，()()kcPx也是整值多项式，其中()()kPx表示()P x的第k阶导数 3.设ma、是大于1的整数定义正整数集上的函数()f x，满足：()10f=，设1x 的标准分解式为1212kkxppp=，则令()()()()1212111kkkf xmppp=令1aa=，()1nnaf a+=，,.1,2n=证明：存在正整数b，使得数列na从某一项开始恒为b 4.设函数,:f g满足：（a）对任意两个不同的整数,x y，有()()()()|xy f x g yg x fy；（b）对任意整数x，有()()220f xg x+；（c）存在多项式()P x，使得对任意整数x，有()()()f xg xP x+证明：存在正整数m，函数:c，及整系数多项式()()p xq x、，使得对绝对值充分大的整数x，都有()()()mf xp x c x=、()()()mg xq x c x=#QQABAYCUogCAAhAAAAgCAwnQCACQkAAACKoGREAIMAAAABNABAA=#

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