2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西初赛试卷真题(含答案解析)
5页1、12第 1 页20202323 年全国年全国中学生数学奥林匹克竞赛中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区广西赛区选拔选拔赛试题赛试题参考答案参考答案(考试时间:2023 年 5 月 21 日 9:00-11:30)一、一、填空题(本大题共填空题(本大题共 8 8 小题,每小题小题,每小题 1010 分,共分,共 8080 分分.)21xnx2,02,02xxxx31()()()21()()()2g xf xfxh xf xfx4 15 36(答案不唯一),0,1Q()1,0,1QCxxf xxx781 a二、二、解答题(本大题共解答题(本大题共 4 4 小题,共小题,共 7070 分分.解答应写出文字说明、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.)1.(本小题满分 15 分)设0S是以定点0P为球心半径为r的球面,0是一个固定平面,0P到0的距离ar设MS是以点M为球心的球面,它与0S外切并与0相切令为满足上述条件的球心M构成的集合设平面与0平行且在上有中的点设d是平面与0之间的距离,求d的最小值m解:解:过0P作0的垂线,交0为O以O为原点,0为xoy面建立空间坐标系使得0
2、P的坐标为(0,0,)a(,)M x y z 当且仅当2222()()xyzazr,即222()2xyarzra因此,222min|,(,)R 2()22xyararmz zx yra2.(本小题满分 15 分)设函数()f x在区间I上有定义若1212(1)()(1)()fxxf xf x对任意的实数1x,2xI和任意的(0,1)恒成立,则称函数()f x为区间I上的一个凸函数 例如,()xf xe是(,)上的一个凸函数设111,1,1pqpq,0kx,0ky(1kn),0a,0b 利用上述相关知识证明:第 2 页(1)(Young 不等式)11pqababpq;(2)(Holder不等式)11111()()nnnppqqkkkkkkkx yxy证明:证明:(1)由()xf xe是(,)上的一个凸函数可得11lnlnlnlnlnln1111paqbpqpaqbabpqabeeeeabpqpq(2)令1111(),()nnppqqkkkkAxBy由(1)(Young 不等式)可得11()()pqkkkkx yxyA BpAqB,从而有111111()()1nnpqkkkkkkx yxy
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