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2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西预赛试卷及答案详解

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1、试卷第 1页，共 2页2022 年全国中学生数学奥林匹克竞赛年全国中学生数学奥林匹克竞赛广西赛区预选拔赛试题参考答案广西赛区预选拔赛试题参考答案（考试时间：（考试时间：2022 年年 5 月月 15 日日 9：00-11：30）一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 80 分分）1若复数z满足i=1+izzz，则z的虚部为_2已知+1+1+1+1+1+1 1nnnnn，1 mnnm对所有正整数m成立，则=n_5设1=6a，0,2na且+1tancos=1nnaa，1n若=11sin=100kkma，则=m_6若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为_7设=y f x是严格单调递增的函数，其反函数为=y g x设1x，2x分别是方程+=2f xx和+=2g xx的解，则12xx_8设00 x，03x，0,0Q x，0,4P，直线PQ与双曲线2213yx 相交于A，B两点，若=2PQ tQAt QB ，则0=x_二二、解答题解答题（本大题共本大题共 4 小题小

2、题，共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤）9已知x、y、z都是正数，且+0 x yzy zxz xy求证：222333+9x y zy z xz x yxyzxyz10设a为正整数，3|a，1=fa，令 ,Z,+1=+3,Z,f nf nf nf nf n1n求证：存在M使得 f nM，1n11如图，已知H、A、C、D四点共圆，四边形ABCD是平行四边形，F是AD与BG的试卷第 2页，共 2页交点，=HF HD HG证明：ABAF12 工兵用信号探测器探测边长为 2 千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为32千米，从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）答案第 1页，共 5页10 或 1【详解】设zabi,则zabi.设iiii1 iababab，22i1iabba，21,0abb，0b或 1，故答案为：0 或 1.214996【详解】由+1+1+1+1+1+1 1nnnnn，取1=3，64,5,10n，将不等式相加可得62222=46633333102110+14 2可知

3、=3n.故答案为：3.答案第 2页，共 5页53333【详解】由+1tancos=1nnaa可得22+1tantan=1nnaa，从而有221tantan=1naan，21tan=1+3nan，32sin=3+1nnan由111sin10031kkmam求得=3333m故答案为：3333.6120【详解】设长、宽、高分别为a、b、c，且1abc，则4+=a b cabc，4+=4b cabc，4bc，24bbc由ab得22844bbcb，故23,420,bb从而38b因此，,=10,3,2a b c，6,4,2，24,5,1，14,6,1，9,8,1，所求最大值为24 5 1=120 故答案为：120.72【详解】+f xx严格单调递增且112222+=2=+=+fxxg xxfg xg x，故12=xg x，21=xf x，于是 1211+=+=2xxxf x.故答案为：2.822答案第 3页，共 5页【详解】设直线l方程为=+4 3f ka，则由 21=3f ka.（3）若 20=3f ka，则20+1=3 3f kaa，矛盾（4）若 20 3f ka，则由03|f k可得2033f ka，从而有2200+1=333+AP PB APP B AD DB可知ADI路线是最短的（2）工兵沿路线ADI行走可以探测完整个区域，过AD上任一点E作CD的平行线，分别交AC与AB于点G、F，由于EG和EF小于等于32，因此工兵沿AD路线行走可以探测完三角形区域的左半部分同理，工兵沿DI路线行走可以探测完三角形区域的右半部分

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