中考数学二轮培优专题精讲 第2讲 垂直平分线 (含详解)

第2讲 垂直平分线1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接PA、PB，构造出等腰PAB，进而求解.逆定理：若PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上.【例题讲解】例题1、如图，在ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF，BE=CD，DGEF于点G，且EG=FG.求证：AB=AC.【分析】可知GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接【解答】解：连接DE、DF如右图所示在BDE和CFD中，.例题2、如图，在RtABC中，C=90，点D在BC上，点E在AB上，且DEAC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，设运动时间为t秒。（1）线段AC的长= ；（2）在线段EA上有一点Q，满足ED=EQ，连接DQ、PE，当PEDQ时，求出t的值.【解答】（1）AC=6；（2）当PEDQ时，由于ED=EQ，易证PE垂直平分DQ，所以连接PD、PQ，只需使PD=PQ即可可知AP=2t，所以PC=6-2t；CD=3，EQ=2，所以AQ=3，所以，所以在RtPCD中，PD2=32+（6-2t）2；在RtPQF中，PQ2=所以32+（6-2t）2=，解得.【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！【最好方法】当PEDQ时，易证PE平分DEA，由【角平分线模型三】可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以AEP为等腰三角形，所以AP=AE=5，即2t=5，t=.【巩固练习】1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的（ ）A.重心B.内心C.外心D.中心2、在AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，则OP1P2是（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形当AOB满足什么条件时，OP1P2是等边三角形？3、如图，ABC中，AB，AC的垂直平分线交BC于D、E，（1）若BAC=100，则DAE= ；（2）若BAC=80，则DAE= ；（3）若DAE=10，则BAC= ；（4）若ABC的周长为20，ADE的周长为12，则AB+AC= ；（5）当AB=AC，且BAC=120，则ADE为何种特殊三角形？4、如图，等边ABC的边长为3，BO、CO分别为ABC、ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交BC于E、F，则EF的长为 .5、如图，已知等腰ABC，AB=BC=5，AC=，在BC边上存在一点P，恰好在线段AB的垂直平分线上，则BP的长为 .6、如图所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F.求证：AD垂直平分EF.7、ABC中，D为BC中点，DEBC，交BAC的平分线于点E，EFAB于F，EGAC于G.求证：BF=CG.8、如图，ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，若FAC=B，求证：AD平分BAC.9、如图，在ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且DBC为等边三角形.（1）求证：直线AD垂直平分BC；（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由.10、已知二次函数y=ax2+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，若C（0，2），BC的垂直平分线过点A，求这个二次函数的关系式.11、如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t0）.（1）点Q的坐标是（ ， ）（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，直线DE经过点O.12、如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把BCE沿BE折叠，点C的对应点为F.（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值 .13、如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点，点Q的坐标为（4，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）当OP/CQ时，求点P的坐标；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当直线PQ垂直平分线段MN时，请求出此时t的值及点P的坐标.14、已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（8，0）和B（一12，0），与y轴交于点C（0，6）.（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点M从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点N以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻t（秒），使线段MN被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t和点N的运动速度；若不存在，请说明理由；参考答案1. 答案：B2. 答案：B；AOB=303. 答案：（1）20；（2）20；（3）95；（4）8；（5）等边三角形.4. 答案：15. 答案：6. 证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，DE=DF在RtADE和RtADF中，AD=AD，DE=DF，RtADERADF(HL)，AEAF，又DEDF，AD垂直平分EF(到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上)7. 证明：如图，连接BE、BC，EDBC，D为BC中点BE= ECEFAB，EGAG，且AB平分FAGFE=EG在BFE和RtCGE中，BE=CE，EF=EG，RtBFERtCGE(HL)，BF=CG.8. 证明：EF是AD的垂直平分线，AF=DFEAFEDF，EAFFAC+CAD，EDFBAD+B，又FACBBADCAD，即AD平分BAC.9. 答案：(1)DBC为等边三角形，DB=DC，D在BC的垂直平分线上ABAC，A在BC的垂直平分线上，直线AD垂直平分BC；(2)以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；理由:连接CE，ABDABE-DBE=60-DBE=DBC-DBE=EBC，在EBC和ABD中，AB=EB，ABDEBC，DB=CB，EBCABD（SAS），BCEADB，ADCE.在ADB和ADC中，AD=AD，AB=AC，DB=DC，ADBADC（SSS），ADBADC，ADB(360-BCD）150BCEBDA150，DCEBCE-BCD=150-60=90CEDA，DCDB，以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形.10. 解：BC的垂直平分线过点A，,二次函数y=ax2+2ax+c的对称轴为，设，则，在RtAOC中，,即，解得或，当时，（舍去）；当时，,此时二次函数解析式为.11. 答案：（1）；（2）四边形QBED能成为直角梯形。当0t3时，如图2，当DEQB时，DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形.此时AQP90.由APQABO得.解得；如图3，当PQBO时，DEPQ，DEBO，四边形QBED是直角梯形.此时APQ90.由AQPABO，得.即，解得；当3t5时，AQt，APt-3，如图2，当DBQB时，DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形。此时AQP90.由APQABO，得.解得（舍去）；如图3，当PQBO时，DEPQ，DEBO，四边形QBED是直角梯形。此时APQ90。由AQPABO，得.即.解得(舍去)；综上所述:t或；(3)当t或时，DB经过点O.理由:如图4，当DE经过点O时，DB垂直平分PQ，EP=EQ=t,由于P与Q运动的时间和速度相同，AQEQEP，AEQEAQ，AEQ+BEQ90，EAQ+EBQ90,BEQEBQ，BQ=BQ,EQ=AQ=BQ=AB，；如图5，当P从A向O运动时，过点Q作QFOB于F，EP6-t，EQEP6-t，, BQ=5-t, ，,，即，解得:.当DE经过点O时，t或.12. 解：（1）如图，MN是线段AD的中垂线，作FHCD于H.在RtBFH中，设，在RtEFH中，因为，即.（2）如图，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x，在RtBFM中，因为BMF90，BM2，BF=BC=3，MN=BC=3FN=，在RtEFN中，.（3）如图，欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，DGADtanGAD，所以GAD最小时，DG的值最小，BFBC，BF是定值，当BFAG时，BAF的值最大，即DAG的值最小，当BFAG时，易知点B与点G共点，设CGGFx，在RtABF中，AFB90，AB4，BF=BC=3.,即AF=.在RtABF中，,即，.CG的最大值为4-.13. 解：（1）设抛物线的解析式为:yax2+bx+c，抛物线经过点C(0，3)，C3把A(-3，0)、B(-1，0)代入yax2+bx+3中9a-3b+3=0，a-b+3=0，解得a=1，b=4.抛物线的解析式为:yx2+4x+3（2）设CQ的直线方程为ykx+b，将C(0，3)和Q(4，0)带入解得CQ的直线方程为-，OPCQ，直线OP的方程为y-，联立-和y-，解得-，-4，P的坐标为（-，）、（-4，3）；（3）过点作ND轴于点D，则NDOC，直线PQ能够垂直平分线段MN，则有QMQN，且PQMN，PQ平分AQC.由QMQN，得:7-3t5-t，解得t=1.设P