山东省烟台市黄海中学高三数学理期末试题含解析

山东省烟台市黄海中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若f (x)是偶函数，且当时，f (x) = x－1，则f (x－1) < 0的解集是（   ） A．{x |－1 < x < 0} B．{x | x < 0或1< x < 2} C．{x | 0 < x < 2} D．{x | 1 < x < 2} 参考答案： C 略 2. 集合，，则（     ）  A.        B.         C.           D. 参考答案： C 3. 以表示等差数列{}的前n项和，若＞，则下列不等关系不一定成立的是     A．2a3＞3a4      B．5a5＞a1＋6a6     C．a5＋a4－a3＜0   D．a3＋a6＋a12＜2a7 参考答案： D 略 4. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(    )     A. n=0            B. n=1           C.n=2               D. n=4   参考答案： C 5. （5分）（2013?兰州一模）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（　　） 　 A． 75 B． C． 27 D． 参考答案： D 略 6. 中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（   ） 参考答案： C 7. 以下说法正确的有（　　） （1）y=x+（x∈R）最小值为2； （2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立； （3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd； （4）命题“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1≥0”； （5）实数x＞y是＜成立的充要条件； （6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】逐项判断即可．（1）当x＜0时易知结论错误；（2）作差即可判断；（3）根据两边都为正数的同向不等式的可乘性易得；（4）根据特称命题的否定形式即可判断；（5）取特殊值易得；（6）根据复合命题的真值易得． 【解答】解： （1）当x＜0时函数，无最小值，故（1）错误； （2）∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0对任意实数a，b都成立，∴a2+b2≥2ab对任意实数a，b恒成立，故（2）正确； （3）根据不等式的性质易知（3）正确； （4）根据特称命题的否定形式知，命题“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定应为“?x∈R，x2+x+1＜0”，故（4）错误； （5）取x=1，y=﹣1满足x＞y，但，故（5）错误； （6）若p∨q为假命题，则p，q都为假命题，所以￢p，￢q都为真命题，所以￢p∨￢q为真命题，故（6）错误． 综上可得正确命题为（2）（3）． 故选A． 　 8. 函数的定义域是 A．       B．         C．        D． 参考答案： D 9. 函数的零点个数是      （　　）        A．0个                    B．1个                    C．2个                    D．3个 参考答案： C 略 10. 已知则等于（ ） A．          B．           C．           D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数在区间(-2，-1)上恒有，则关于的不等式的解集为____________ 参考答案： (0,) 12. 设是等差数列的前项和，且，则=          ． 参考答案： 81 13. 已知，则_____. 参考答案： 【分析】 将所给式子平方，找到与的关系. 【详解】平方得 ∴. 【点睛】与的关系：； 14. 已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是    ▲     . 参考答案： 15. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为                   ． 参考答案： 3 略 16. 的展开式中x的系数是       。 参考答案： 2 17. 已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是            参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量， ,且. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若向量,试求的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ)由题意得，…2分 即.                                                 ……3分. 由余弦定理得, .                                  ……………………5分 (Ⅱ),         ……………………6分    …………………8分 .                                   ……………………10分 所以，故.                ……………………12分 略 19. （本小题满分14分） 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线. （1）求椭圆的方程； （2）求点的轨迹方程； （3）求面积的最大值及此时点的坐标. 参考答案： （1）；（2），除去四个点，，，；（3），点的坐标为或. 试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，，，的坐标，再根据已知条件可得，，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值. 试题解析：（1）解法1： ∵ 双曲线的顶点为,, …………1分 ∴ 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， ∵ 椭圆过点， ∴ ，得.                     ………………………2分 ∴ .                               ………………………3分 ∴ 椭圆的方程为 .                      ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线的顶点为,,  …………………1分 ∴ 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， ∵ 椭圆过点， ∴ .     ①                               ………………………2分 ∵ ,     ②                               ………………………3分 由①②解得, . ∴ 椭圆的方程为 .                      ………………………4分 （2）解法1：设点，点， 由及椭圆关于原点对称可得， ∴，，，. 由 , 得 ， ……………………5分 即 .      ① 同理, 由, 得 .  ②  ……………6分 ①②得 .   ③         ………………………7分 由于点在椭圆上, 则，得, 代入③式得 .  当时，有，                       当，则点或,此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程.            ………………………8分 当点与点重合时，即点，由②得 ， 解方程组 得点的坐标为或. 同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或. ∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,. ………9分 解法2：设点，点， 由及椭圆关于原点对称可得， ∵，， ∴，. ∴，①                  ……………………5分 . ②                   ……………………6分               ①② 得 .  (*)                     ………………………7分 ∵ 点在椭圆上,   ∴ ，得, 代入(*)式得，即,      化简得 .                                 若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程.            ………………………8分 当点与点重合时，即点，由②得 ， 解方程组 得点的坐标为或. 同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或. ∴点的轨迹方程为 , 除去四个点,, ,.…………9分 (3) 解法１：点到直线的距离为. △的面积为………………………10分                  .    ………………………11分 而（当且仅当时等号成立） ∴. ……12分 当且仅当时, 等号成立. 由解得或           ………………………13分 ∴△的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.…14分 解法２：由于， 故当点到直线的距离最大时，△的面积最大． ………………………10分 设与直线平行的直线为， 由消去，得， 由，解得．　　　………………………11分 若，则，；若，则，． …12分 故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为 ．　　　　　　　　　　………………………14分 考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程. 20. （本小题满分14分）设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。 （1）求数列{}的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。 （I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由； （II）求证：. 参考答案： 两式相减：.              ………………2分 又, 因为数列是等比数列，所以，故. 所以  .                              ………………4分 （Ⅱ）令，              ,                  …………11分 两式相减： …………13分 .                     ………………14分 考点：等比数列通项，错位相减法求和. 21. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面． （Ⅰ）求证：平面． （Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小． （Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 见解析 （Ⅰ）∵， ∴， ∵面面，面面，面， ∴面． （Ⅱ）取的中点，连接， ∵， ∴， ∵面面，面，面， ∴面， 以为原点，所在的直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，由， ∴，，