湖南省长沙市双江口联校2022年高一数学理模拟试题含解析

湖南省长沙市双江口联校2022年高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义运算,如. 已知,,则    (    ) （A）                 （B）                （C）                （D） 参考答案： A 略 2. 已知集合且,则实数（    ） A．0         B．0或3       C．3       D．1 参考答案： B 集合且,所以或=0 所以,经检验都符合题意 故选B   3. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （    ） A.锐角三角形   B.直角三角形    C.钝角三角形   D.由增加的长度决定 参考答案： A 4. 点位于第二象限，则角所在象限是（  ） （A）第一象限  （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限   参考答案： D 略 5. 已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，则A∩B=(     ) A．（1，3） B． C．{1，3} D．{1，2，3} 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}，能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤4，x∈Z}， ∴A∩B={1，2，3}． 故选D． 【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 6. 已知全集，集合，，则等于(     ) A．{1,3,5}  B．{2,4,6}       C．{1,5}  D．{1,6} 参考答案： D 7. 设，则的值是（     ） A.     B.0    C.59     D. 参考答案： A 略 8. 设点A（﹣1，2），B（2，3），C（3，﹣1），且则点D的坐标为（　　） A．.（2，16） B．.（﹣2，﹣16） C．.（4，16） D．（2，0） 参考答案： A 【考点】9J：平面向量的坐标运算． 【分析】，可得=+2﹣3，即可得出． 【解答】解：∵，∴ =+2﹣3=（﹣1，2）+2（3，1）﹣3（1，﹣4）=（2，16）， 则点D的坐标为（2，16）． 故选：A． 9. 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ，且满足 ，则(   ) A        B       C            D   参考答案： B 10. 已知函数是定义在上的偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式成立的是(    ) A.                   B. C.                   D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ．阅读下列程序，并指出当a=3，b= –5时的计算结果：a=        ，b=           ．                 参考答案： a=0.5，b= – 1.25  12. 有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在，处，则当时，　         秒 ． 参考答案： 2 13. 在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是　_________　． 参考答案： 14. 设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调减函数，且，若函数对所有的都成立，则t的取值范围是_____________． 参考答案： t≥1或t≤0 【分析】 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），据此分析：若f（x）≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，必有1≤t2﹣t+1恒成立，即t2﹣t≥0恒成立，解t2﹣t≥0即可得答案． 【详解】根据题意，函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，则在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1）， 又由f（x）为奇函数，则f（-1）＝﹣f（1）＝1， 若f（x）≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立， 必有1≤t2﹣t+1恒成立，即t2﹣t≥0恒成立， 解可得：t≥1或t≤0， 则t的取值范围为：t≥1或t≤0， 故答案为t≥1或t≤0． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的最值以及恒成立问题，属于综合题． 15. 已知，，则的最大值是          ． 参考答案： 16. 对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____． 参考答案： (－3,3] 【分析】 分别在和两种情况下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果. 【详解】①当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意 ②当，即时，不等式恒成立则需： 解得： 综上所述： 本题正确结果： 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型. 17. 已知奇函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数，且f（a+1）+f（2a）＞0，则a的取值范围是       ． 参考答案： （﹣∞，﹣） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】转化思想；演绎法；不等式的解法及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可． 【解答】解：由f（a+1）+f（2a）＞0，得f（2a）＞﹣f（a+1）， ∵奇函数y=f（x）在定义域R上是单调减函数， ∴f（2a）＞﹣f（a+1）等价为f（2a）＞f（﹣a﹣1）， 即2a＜﹣a﹣1， 即a＜﹣， 故答案为：（﹣∞，﹣） 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0. (1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程； (2)从圆外一点P(x0，y0)向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标． 参考答案： 　⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4， 圆心C(－1,2)，半径r＝2. (1)若切线过原点设为y＝kx， 若切线不过原点，设为x＋y＝a， 19. 已知数列{an} 通项an=n，其前n项和为Sn，若Sn为完全平方数，求n。 参考答案： 解析：依题意得：，即 于是，问题转化为求方程的整数解， 显然，（3，1）是方程的一组整数解。 ∵ 于是构造， ∴， 所以. 另外：问题转化为求贝尔方程的整数解， 于是构造， ∴， 所以 20. (本题满分6分) 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式：（为常数）. 参考答案： （1）由题知为关于的方程的两根， 即 ∴.    ………………3分 （2）不等式等价于， 所以：当时解集为；       当时解集为；       当时解集为. ……………6分 21. （1）利用“五点法”画出函数在内的简图 x           x+           y           （2）若对任意x∈[0，2π]，都有f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；正弦函数的图象． 【分析】（1）根据列表、描点、连线的基本步骤，画出函数在一个周期在的大致图象即可． （2）根据x∈[0，2π]，求解f（x）的值域，要使f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立，转化为最小和最大值问题． 【解答】解：（1）根据题意，函数在内的列表如下： x 0 π 2π y 0 1 0 ﹣1 0 在平面直角坐标系内可得图象如下： （2）通过图象可知：当x∈[0，2π]时，函f（x）值域为， 要使f（x）﹣3＜m＜f（x）+3恒成立， 即： 解得：， ∴m的取值范围是． 22. (本小题满分13分)已知数列的前项和，数列满足，且 ⑴ 求、的通项公式； ⑵ 设数列的前项和，且，证明 参考答案：