湖南省郴州市武水中学高一数学理测试题含解析

湖南省郴州市武水中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 当时，成立，其中且，则不等式的解集是（   ） A．                      B．            C．        　　       D．   参考答案： C 略 2. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，计算可得答案． 【解答】解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大 取AC的中点E，则BE⊥平面DAC， 故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE cos∠DBE=， ∴∠DBE=45°． 故选C． 3. 设是定义在上偶函数，则在区间［0,2］上是（　  ） A．增函数　    　B．先增后减函数　 C．减函数　 　D.与有关，不能确定 参考答案： C 4. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则这个函数的图象大致是 参考答案： D 5. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（   ）[ 来源:学科网ZXXK] ①与平行．    ②与是异面直线． ③与成角．④与垂直． A.   ①②③         B.   ③④         C.   ②④           D.   ②③④ 参考答案： B 略 6. 设,用二分法求方程 内近似解的过程中得 则方程的根落在区间（    ） A      B      C       D  不能确定 参考答案： B 7. “”是“”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： A 试题分析：,所以“”是“”的充分而不必要条件． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 8. 函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析： 画出函数y=ex，y=的图象，由图得一个交点． 【解答】解：画出函数y=ex，y=的图象： 由图得一个交点，由于图的局限性， 下面从数量关系中找出答案． ∵， ， ∴选B． 9. 在数列中,若对于任意的都有(为常数),则称为“等差比数列”?下面是对“等差比数列”的判断: ①不可能为;②等差数列一定是等差比数列;③等比数列一定是等差比数列;④等差比数列中可以有无数项为?其中正确的有                                                        （　　） A．①②           B．②③           C．③④           D．①④ 参考答案： D 略 10. 已知函数，在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B．    C．     D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合P={1，2，3}的子集共有　   　个． 参考答案： 8 【考点】子集与真子集． 【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：因为集合P={1，2，3}， 所以集合P的子集有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，?，共8个． 故答案为：8 12. 设集合A={},B={x},且AB，则实数k的取值范围是                    . 参考答案： {} 13. 函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上是递增的，实数a的取值范围      ． 参考答案： （，+∞）． 【考点】函数单调性的性质． 【分析】先将函数解析式进行常数分离，然后利用增函数的定义建立关系，进行通分化简，判定每一个因子的符号，从而求出a的范围． 【解答】解：f（x）===+a、 任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=． ∵函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∵x2﹣x1＞0，x1+2＞0，x2+2＞0， ∴1﹣2a＜0，a＞， 即实数a的取值范围是（，+∞）． 14. 若xlog23=1，则3x+9x的值为　   　． 参考答案： 6 【考点】对数的运算性质． 【分析】xlog23=1，可得x=log32．再利用对数恒等式与指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：∵xlog23=1， ∴x=log32． ∴3x==2， 9x=（3x）2=4． 则3x+9x=2+4=6． 故答案为：6． 15. （5分）已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为          ． 参考答案： 100 考点： 扇形面积公式． 专题： 三角函数的求值． 分析： 设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r=40，利用扇形的面积公式，结合基本不等式，即可求得扇形面积的最大值． 解答： 设扇形的弧长为l，半径为r，则l+2r=40， ∴S==（40﹣2r）r=r≤=100， 当且仅当20﹣r=r，即r=10时，扇形面积的最大值为100． 故答案为：100． 点评： 本题考查扇形面积的计算，考查基本不等式的运用，确定扇形的面积是关键． 16. 已知4a=2，lgx=a，则x=　   　． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【专题】计算题． 【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值． 【解答】解：由4a=2，得， 再由lgx=a=， 得x=． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 17. 已知是第二象限角，且，则的值是             ； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)已知函数的图象在上连续不断，定义： ，。 其中，表示函数在D上的最小值，表示函数在D上的最大值。若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”。 （1）若，试写出的表达式； （2）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，      如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由； （3）已知函数在上单调递增，在上单调递减，若     是上的“阶收缩函数”，求的取值范围。 参考答案： （1）由题意得：   （2），     当时，    当时，     当时，     综上所述：，又，则 　 （3）ⅰ）时，在上单调递增，因此，，    。因为是上的“阶收缩函数”，所以，    ①对恒成立；    ②存在，使得成立。    ①即：对恒成立，由，解得：     ，要使对恒成立，需且只需    ②即：存在，使得成立。由得：    ，所以，需且只需    综合①②可得：   ⅱ）时，在上单调递增，在上单调递减，    因此，    显然当时，不成立。   ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递减    因此，    显然当时，不成立。    综合ⅰ）ⅱ）ⅲ）可得： 19. （10分）某汽车厂生产的A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适性和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）   轿车A 轿车B 轿车C 舒适性 800 450 200 标准型 100 150 300 （Ⅰ）在这个月生产的轿车中，用分层抽样的方法抽取n辆，其中有A类轿车45辆，求n的值； （Ⅱ）在C类轿车中，用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少1辆舒适性轿车的概率； （Ⅲ）用随机抽样的方法从A类舒适性轿车中抽取10辆，经检测它们的得分如下：，8.7，9.3，8.2，9.4，8.6，9.2，9.6，9.0，8.4，8.6，把这10辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率． 参考答案： （Ⅰ）由题意得，轿车的总数为800+100+450+150+200+300=2000，，解得n=100， （Ⅱ）设听取的样本中有m辆舒适型轿车，则，解得m=2，也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2；B1，B2，B3， 则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个， 其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）， 所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为P=， （Ⅲ）总体平均数为=（8.7+9.3+8.2+9.4+8.6+9.2+9.6+9.0+8.4+8.6）=8.9， 那么与， 故该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率 20. .在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求边长b； （2）若△ABC的面积为，求边长c. 参考答案： （1）；（2）5. 试题分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理解出边c的长. 试题解析：（1）由正弦定理得， 又，所以，． 因为，所以． …6分 （2）因为，，所以． 据余弦定理可得，所以． …12分 考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式. 21. （本小题满分12分） 已知，；当时，恒成立， 求实数的值，并求此时的最小值。 参考答案： 解：由；……3分 由时，恒成立知，， 即，对时恒成立；由……7分 ，∴，∴； ∴；当时，。 …12分   22. 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 参考答案： 【考点】函数最值的应用． 【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求