湖北省荆门市京山县第五高级中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 若满足不等式，则实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
B
3. 已知△ABC中，且，，则△ABC 是（ ）
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 正三角形或直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
参考答案：
A
【分析】
由tanA+tanBtanAtanB，推导出C＝60°，由，推导出A＝60°或90°，从而得到△ABC形状．
【详解】∵tanA+tanBtanAtanB，
即tanA+tanB（1﹣tanAtanB），
∴tan（A+B），又A与B都为三角形的内角，
∴A+B＝120°，即C＝60°，
∵，∴,
∴2B＝60°或120°，则A=90°或60°.
由题意知
∴△ABC等边三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．
4. 等差数列的前项和为，若则的值为
A． B．50 C．55 D．110
参考答案：
C
5. 过双曲线C：的右顶点A作斜率为1的直线l，分别与两渐近线交于B，C两点，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
，得，，解得，
所以，得，则离心率为，故选B。
6. 是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．
【解答】解：把直线y=kx﹣1方程代入曲线x2﹣y2=4，化为：（k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=4k2﹣20（k2﹣1）=0，解得k=．此时直线与双曲线有唯一公共点．
当k=±1时，直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点．
∴是直线y=kx﹣1与曲线x2﹣y2=4仅有一个公共点的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与双曲线的交点与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 从0，2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（ ）
A. 64 B. 80 C. 96 D. 240
参考答案：
A
【分析】
分类讨论从0，2，4，6，8中任取2个数字是否含有，根据题意所取的奇数在个位，即可求解.
【详解】若从0，2，4，6，8中取2个数字不含0，
满足条件的三位奇数有，
若从0，2，4，6，8中取2个数字含0，
满足条件的三位奇数有，
所以可组成的三位奇数有.
故选:A.
【点睛】本题考查排列组合应用问题，要注意特殊元素的处理，属于基础题.
8. 数列中，“”是“数列是递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
略
9. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）
A. B.
C. AB与CD所成的角为 D. AB与CD相交
参考答案：
C
略
10. 若函数在（0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是
A．－2
2
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________;
参考答案：
略
12. 已知等差数列{an}中，有 成立.类似地，在等比数列{bn}中，有 成立.
参考答案：
略
13. 已知函数f（x）=ex﹣alnx的定义域是（0，+∞），关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；
②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
③存在a∈（﹣∞，0），使得对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．
其中正确命题的序号是 ．
参考答案：
①④
考点：函数零点的判定定理；函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求导数，若为减函数则导数恒小于零；在开区间上，若有最小值则有唯一的极小值，若有零点则对应方程有根．
解答： 解：由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=ex﹣，
①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=ex﹣=0，可以判断函数有最小值，①正确，
②∵a∈（﹣∞，0）∴f′（x）=ex﹣≥0，是增函数．所以②错误，
③画出函数y=ex，y=﹣alnx的图象，如图：显然不正确．
④令函数y=ex是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=ex﹣alnx=0有两个根，正确．
故答案为：①④．
点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题．
14. 已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
参考答案：
15. 椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为 ．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求解即可得椭圆方程．
【解答】解：∵椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，
过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，
∴，解得a2=4，b2=2，c2=2，
∴椭圆C的方程为：．
故答案为：．
16. 已知不等式＞2对任意x∈R恒成立，则k的取值范围为 ．
参考答案：
[2，10）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】将不等式＞2转化为（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．分k=2和k≠2两种情况讨论，对于后者利用一元二次不等式的性质可知，解不等式组即可确定k的取值范围．
【解答】解：∵x2+x+2＞0，
∴不等式＞2可转化为：
kx2+kx+6＞2（x2+x+2）．
即（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0．
当k=2时，不等式恒成立．
当k≠2时，不等式（k﹣2）x2+（k﹣2）x+2＞0恒成立，
等价于，
解得2＜k＜10，
∴实数k的取值范围是[2，10），
故答案为：[2，10）．
17. 在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为 ．
参考答案：
3或﹣2
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．
【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），
根据对称性，MN⊥PR，
===，
∵kMN=，+=0
∴kMN?kTQ=﹣1，
∴MN⊥TQ，
∴P，Q，R，T共线，
∴kPT=kRT，
即，
∴a2﹣a﹣6=0，
∴a=3或﹣2．
故答案为：3或﹣2．
【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点.
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.
参考答案：
以为坐标原点,长为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面内，故面⊥面.………………………………………………4分
（Ⅱ）解：因
……………………………………………7分
所以，AC与PC所成角的余弦值为…………………………………………………8分
（Ⅲ）解：易知平面ACB的一个法向量…………………………………9分
设平面MAC的一个法向量则，不妨取………10分
设二面角的平面角为则，
则
所以 …………………………………………………………12分
19. (12分)已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex其中e是自然对数的底数a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a<0，求f(x)的单调区间；
(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数的图象有3个不同的交点，求 实数m的取值范围．
参考答案：
(1)a＝1时，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.
又因为f(1)＝e，
所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.
(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex＝[ax2＋(2a＋1)x]ex，
（1）若 f′(x)<0,所以f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）若a=，则f′(x)＝，所以f（x）的单调递增区间为R
(3) 当 f′(x)<0，所以f（x）的递减区间单调递增区间为
（3）由（2）已知f(x)＝(-x2＋x－1)ex在递减，在递增，在上单调递减，所以f（x）在x= -1处取得极小值，在x=0取得极大值-1
g（x）经过分析在在递增，在递减，在上单调递增
故g（x）在x=-1取得极大值在，在x=0取得极小值m
因为函数f（x）与g（x）图像有3个不同的交点。
所以
所以
20. 某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出比上一年增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前年的纯利润总和，（=前年的总收入–前年的总支出–投资额72万元）.
（I）该厂从第几年开始盈利？
（II）该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
参考答案：
略
21. (本小题满分16分)已知函数，命题，；命题.
(1)若p为真命题，求a的取值范围；(2)若q为真命题，求a的取值范围；
(3)若“”为假命题，“”为假命题，求a的取值范围.
