浙江省杭州市上泗中学高三数学文月考试题含解析

浙江省杭州市上泗中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数（是虚数单位）等于 A．       B．           C．      D． 参考答案： 答案:D 2. 已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状， 记表示第行的第个数，则=   A.        B.      C.        D. 参考答案： B 略 3. 执行如图所示的算法程序,输出的结果是                     （    ）        A．24,4　　                B．24,3　　                C．96,4　　               D．96,3 参考答案： B 4.                                        （    ） A．1 B．2 C3． D．4 参考答案： D 略 5. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 A.    B.    C.    D. 参考答案： C 略 6. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是                  （    ）    A．        B．           C．       D． 参考答案： D 7. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为   A.            B.           C.      D. 参考答案： B 8.  根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为 (A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是（    ） A. 75，25            B. 75，16          C. 60，25            D. 60，16 参考答案： D 9. 已知定义在上的函数满足，且对于任意的，恒成立，则不等式的解集为 A．      B．      C．     D． 参考答案： B 10. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 A．          B．                        C．             D．  参考答案： A ，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率为_______. 参考答案： 12. 已知， 是互相垂直的单位向量，若  与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 参考答案： 【分析】 根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1）， 则（，﹣1）， λ（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（）?（λ）λ＝2cos60°， 即λ， 解得λ． 【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 13. 已知，则 ____________. 参考答案： 略 14. 正数满足，则的最大值为_______. 参考答案： 15. 已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________. 参考答案： 设幂函数为，则由得，即，所以，，所以。 16. 已知函数，若，则实数的取值范围 为        . 参考答案： 17. 如图，第个图形是由正边形“扩展”而来，则第个图形中共有            个顶点． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分） 在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． ⑴证明：平面ACD⊥平面ABC； ⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积．   参考答案：   解： （1）由已知可得，=90°，． 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD． 又AB平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC． （2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=． 又，所以． 作QE⊥AC，垂足为E，则． 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1． 因此，三棱锥的体积为 ．       19. 如图所示，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到点A的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒． （1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； （2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米）． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（1）根据题意可用x分别表示PA，PC，PB，再利用cos∠PAB求得AB，同理求得AC，进而根据cos∠PAB=cos∠PAC，得到关于x的关系式，求得x． （2）作PD⊥AC于D，根据cos∠PAD，求得sin∠PAD，进而求得PD． 【解答】解：（1）依题意，有PA=PC=x，PB=x﹣1.5×8=x﹣12． 在△PAB中，AB=20= 同理，在△PAB中，AC=50= ∵cos∠PAB=cos∠PAC， ∴解之，得x=31． （2）作PD⊥AC于D，在△ADP中， 由得 ∴千米 答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米． 20. （本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．        （Ⅰ）求椭圆的标准方程；        （Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左，右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 参考答案： 解:（I）∴                                       ……………4分        （II）设，由得，                                        ……………5分               ……………6分 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，        ……………7分 ，，  …………9分 解得，且满足．             ……………10分 当时，，直线过定点与已知矛盾；     ……………11分 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为                      ……………12分   21. 已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（，），离心率为，点O位坐标原点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过椭圆E的左焦点F作任一条不垂直于坐标轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的中点为M，过F做PQ的垂线FN交直线OM于点N，证明，点N在一条定直线上． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由椭圆的离心率求得a2=5b2，将点（，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可椭圆方程； （2）设直线方程l，则直线FN：y=﹣（x+2），将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，根据直线OM方程，求得直线FN和OM的交点N，即可得证． 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===， 则a2=5b2， 将点（，）代入椭圆，解得：b2=1，a2=5， ∴椭圆E的标准方程； （2）证明：由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0，y=k（x+2），直线FN：y=﹣（x+2）， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）， 则，整理得：（1+5k2）x2+20k2x+20k2﹣5=0， 由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1+x2=， 则x0==﹣，y0=k（x0+2）=， 则直线OM的斜率为kOM==﹣， 直线OM：y=﹣x， ，解得：， 即有k取何值，N的横坐标均为﹣，则点N在一条定直线x=﹣上． 22. 已知中，角所对的边分别为，且.  （1）求证：； （2）求的面积. 参考答案： (1)因为，又由正弦定理得 ，即所以A为钝角， 又和B都为锐角，即；------6分 (2),则，得，--------------9分 所以. 解得：        --------------11分 则-------12分