首师大教育统计学课件04差异量数

第四章 差异量数某研究者得到以下两组成绩：某研究者得到以下两组成绩：甲组甲组 54 63 72 74 82 88 99 54 63 72 74 82 88 99 乙组乙组 67 71 73 76 79 82 8467 71 73 76 79 82 84试问：试问：两组分数的分布是否一样？为什么？两组分数的分布是否一样？为什么？哪个均数的代表性更好？为什么？哪个均数的代表性更好？为什么？描述数据描述数据离散程度离散程度的统计量称为的统计量称为差异量差异量。差异量越大，表明数据越分散、不集中；差异差异量越大，表明数据越分散、不集中；差异量越小，表明数据越集中，变动范围越小。量越小，表明数据越集中，变动范围越小。一组数据的离散程度，常常通过数据的离一组数据的离散程度，常常通过数据的离中趋势（中趋势（数据的变异性数据的变异性）特点进行分析。）特点进行分析。度量指标：全距、平均度量指标：全距、平均 差、方差、标准差、方差、标准差、偏态量、峰态量差、偏态量、峰态量第一节 全距与百分位差1 1全距全距 R R（range）全距是一组数据中的最大值全距是一组数据中的最大值（maximum）与该组数据中最小值）与该组数据中最小值（minimum）之差，又称极差。）之差，又称极差。RXmaxXmin特点：全距是最简单、也是最粗糙、特点：全距是最简单、也是最粗糙、最不可靠的差异量数，其只利用了数据中最不可靠的差异量数，其只利用了数据中的极端值，一般情况下用于数据的的极端值，一般情况下用于数据的预备性预备性检验。检验。2 百分位差（百分位距）百分位差是指两个百分位数（百分位差是指两个百分位数（percentile）之差。）之差。百分位数又叫百分位点：是量尺上一个点百分位数又叫百分位点：是量尺上一个点常用的百分位差有两种：常用的百分位差有两种：P P9090P P1010（包括包括80%80%的次数的次数）和和 P P9393P P7 7（包括包括86%86%的次数的次数）。用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。用几个百分位距能较好地反映一组数据的差异程度。计算公式公式中公式中:f fb bp p为某一百分位数所在组下限以下的累积频数为某一百分位数所在组下限以下的累积频数f fp p为某一百分位数所在组的频数为某一百分位数所在组的频数b bp p为某一百分位数所在组的精确下限为某一百分位数所在组的精确下限 N N为总次数为总次数 见见:书书P82P82例例4-1 4-1 百分位数和百分等级百分位数和百分等级百分等级是一种相对位置量数，是百分位数的逆运算3 四分位距四分位距是指在一个次数分布中，四分位距是指在一个次数分布中，中间中间50%50%次数的距离的一半。在一组数据次数的距离的一半。在一组数据中等于中等于P25P25到到P75P75距离的一半，反映的是距离的一半，反映的是中间中间50%50%数据的散布情况。数据的散布情况。四分位距是第一个四分位数与第三四分位距是第一个四分位数与第三个四分位数之差的一半个四分位数之差的一半,计算公式为计算公式为:（51）例例1 1：求以下一组原始数据的四分位距：求以下一组原始数据的四分位距：3939，1414，1515，2828，2121，3232，1919，2020，1717，2222，2525，35.35.解：解：1 1）将原始数据排序：）将原始数据排序：1414，1515，1717，1919，2020，2121，2222，2525，2828，3232，3535，39392 2）求出第一四分位数和第三四分位数的：）求出第一四分位数和第三四分位数的：Q1=Q1=（17+1917+19）/2=18/2=18；Q3=(28+32)/2=30Q3=(28+32)/2=303)3)求出四分位距：求出四分位距：Q=Q=（30-1830-18）/2=6/2=6在分组数据中：（5a）（5b）用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。第二节 方差与标准差一、动差概念一、动差概念 动差也称为矩：是指力的动势，即作用力与力臂的动差也称为矩：是指力的动势，即作用力与力臂的乘积。统计学上用此概念表示次数分布的情况。乘积。统计学上用此概念表示次数分布的情况。统计动差统计动差是次数分布对原点的动势，在统计学中，是次数分布对原点的动势，在统计学中，大多数情况下运用的是次数分布对平均数的动势，即大多数情况下运用的是次数分布对平均数的动势，即以以平均数平均数所在位置为所在位置为原点原点，以，以各组观测值与平均数的各组观测值与平均数的差差为为力臂力臂，各组次数各组次数为为作用力作用力来计算动差。这种以平来计算动差。这种以平均数为原点计算的统计动差叫均数为原点计算的统计动差叫中心动差中心动差。一阶动差（矩）一阶动差（矩）无法表示数据分布差异无法表示数据分布差异 二阶动差（矩）二阶动差（矩）表示一个分布中离中趋势表示一个分布中离中趋势三阶动差（矩）三阶动差（矩）表示一个分布中偏态性指标表示一个分布中偏态性指标四阶动差（矩）四阶动差（矩）表示一个分布中峰态性表示一个分布中峰态性二、平均差平均差（平均差（average deviation 或者或者 mean deviation）是指一组数据中，每一）是指一组数据中，每一个数据与该组数据的平均数离差的绝对值的个数据与该组数据的平均数离差的绝对值的算术平均数，通常用算术平均数，通常用ADAD或或MDMD表示。表示。本书中均以本书中均以ADAD表示。表示。原始数据计算公式次数分布表计算公式（53）（54）平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。平均差意义明确，计算容易，反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此但计算时要用绝对值，不适合代数运算，因此在进一步统计分析中应用较少。在进一步统计分析中应用较少。三、方差和标准差方差（又称为变异数、均方）是表示一组数据离方差（又称为变异数、均方）是表示一组数据离散程度的统计指标。一般样本的方差用散程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总表示，总体的方差用体的方差用 表示。表示。标准差（标准差（standard deviation）是方差的算术）是方差的算术平方根。一般样本的标准差用平方根。一般样本的标准差用 S 表示，总体的标准表示，总体的标准差用差用 表示。表示。标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差标准差和方差是描述数据离散程度的最常用的差异量。异量。1.方差和标准差的定义 （55）（56）2方差和标准差的计算公式原始数据计算公式（57）（58）公式（公式（5-55-5）、（）、（5-65-6）等价于（）等价于（5-75-7）、（）、（5-85-8），），当两个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公式当两个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公式的结果更准确。的结果更准确。练习求下列数据的均值和标准差求下列数据的均值和标准差 8 8，1010，2 2，5 5，8 8，3 3，2 2，2 2，1919，12 12 4 4，1 1，3 3，4 4，8 8，8 8，3 3，3 3，4 4，3333 试问上述两组分数的分布是否相同？为什试问上述两组分数的分布是否相同？为什么？么？计算及结果计算及结果均数：均数：标准差：标准差：次数分布表计算公式（59）（510）表5-1 52名学生数学成绩方差和标准差计算表成绩成绩组中值组中值Xc频数频数f fF*XcF*XC2计计 算算959597.52 219519012.5909092.52 218517112.5858587.53 3262.522968.75808082.55 5412.534031.25757577.58 862048050707072.51111797.557818.75656567.59 9607.541006.25606062.55 5312.519531.25555557.54 423013225505052.52 21055512.5454547.51 147.52256.25合计合计5237752805253总标准差的合成 方差具有可加性的特点。当已知几个小方差具有可加性的特点。当已知几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组数据的方差或标准差时，可以计算几个小组联合在一起的总的方差或标准差。组联合在一起的总的方差或标准差。需要注意的是，只有在应用需要注意的是，只有在应用同一种观测同一种观测手段，测量的是手段，测量的是同一种特质同一种特质，只是样本不同只是样本不同的数据时，才能计算合成方差或标准差。的数据时，才能计算合成方差或标准差。计算公式公式中公式中:为总方差为总方差,为总标准差为总标准差 S Si i为各小组标准差为各小组标准差 n ni i为各小组数据个数为各小组数据个数 （511）（512）练习例例4-54-5：现有四个小组的人数及成绩统计如下表，试问其总标：现有四个小组的人数及成绩统计如下表，试问其总标准差为多少？准差为多少？表表4-3 4-3 成绩统计量成绩统计量组别组别 n nM MS S 甲甲 202080 80 8 8 乙乙 181875757 7 丙丙16 16 70708 8 丁丁 202070706 6 7474总方差和总标准差总方差和总标准差 解题过程：4方差和标准差的性质方差是对一组数据中各种变异的总和的测量方差是对一组数据中各种变异的总和的测量,具有具有可加性可加性可加性可加性和和可分解性可分解性可分解性可分解性特点。特点。标准差是一组数据方差的算术平方根，它标准差是一组数据方差的算术平方根，它不不不不可以可以可以可以进行代数计算，但有以下特性：进行代数计算，但有以下特性：如果则如果则5方差和标准差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，是统计分析中最常用的差异量。指标，是统计分析中最常用的差异量。标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，标准差具备一个良好的差异量应具备的条件，如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合如：反应灵敏，有公式严密确定，简明易懂，适合代数运算等等。代数运算等等。应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，应用方差和标准差表示一组数据的离散程度，须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测须注意必须是同一类数据（即同一种测量工具的测量结果），而且被比较样本的水平比较接近。量结果），而且被比较样本的水平比较接近。练习1.1.计算下列数列的均值计算下列数列的均值,方差和标准差：方差和标准差：3 3，4 4，5 5，5 5，6 6，7 7。1 1）给每一个数加或减）给每一个数加或减2 2，然后再计算均值，然后再计算均值,方差和标准差。结果会有什么不同吗？方差和标准差。结果会有什么不同吗？2 2）把每一个数乘以或同除以）把每一个数乘以或同除以2 2，计算均值，计算均值,方差和标准差，结果会有什么不同吗？方差和标准差，结果会有什么不同吗？答案：问题李芳数学成绩班上排名李芳数学成绩班上排名1515，你能对此成绩进行评价，你能对此成绩进行评价吗？为什么？吗？为什么？某班学生平均身高某班学生平均身高160160公分，标准差公分，标准差8.28.2，平均体重，平均体重6060公斤公斤,标准差标准差3.53.5。某生身高。某生身高170 170 分，体重分，体重6565公斤，试公斤，试问其身高与体重哪方面在班上较突出？问其身高与体重哪方面在班上较突出？两小学生语数两科总分均为两小学生语数两科总分均为184184，能否说明两人的，能否说明两人的学习水平完全一样？为什么？学习水平完全一样？为什么？第三节 相对差异量1.差异系数的概念及计算公式差异系数（差异系数（coefficient of variation）是）是指标准差与其算术平均数的百分比，它是没指标准差与其算术平均数的百分比，它是没有单位的相对数。常以有单位的相对数。常以CVCV表示表示,其计算公式为其计算公式为 （513）2.差异系数的作用比较比较不同单位不同单位资料的差异程