广东省湛江市前山中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，且，则下列不等式中恒成立的是
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 已知函数，则函数的零点个数为（ ）
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
参考答案：
B
略
3. 在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是（ ）
A. －5 B. 5 C. 10 D. －10
参考答案：
C
由通项公式可得在的展开式中,
含的项的系数是,
所以C选项是正确的.
4. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数分别为：9.4 、8.4 、9.4、9.9、9.6 、9.4、9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
A．9.4 ；0.484 B．9.4 ；0.016 C．9.5 ；0.04 D．9.5 ；0.016
参考答案：
D
略
5. 已知函数, ，若对,，使成立，则实数的a取值范围是
A. (0,2] B. (2,3] C. [3,6] D. [4,+∞)
参考答案：
A
由题意得“对,，使成立”等价于“”．
∵，当且仅当时等号成立．
∴．
在中，由，解得．
令，
则
，（其中）．
∴．
由，解得，
又，故，
∴实数的取值范围是．选A．
6. 已知，若的充分条件，则实数取值范围是
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 若实数x，y满足，则z=3x+2y的值域是（ ）
A．[0，6] B．[1，9] C．[2，8] D．[3，7]
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．
【分析】由题意作出其平面区域，令m=x+2y化为y=﹣x+m，m相当于直线y=﹣x+m的纵截距，由几何意义可求得0≤x+2y≤2，从而得到答案．
【解答】解：由题意作出其平面区域，
令m=x+2y化为y=﹣x+m，m相当于直线y=﹣x+m的纵截距，
故由图象可知，
0≤x+2y≤2，
故1≤z≤9，
故选B．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．
8. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
参考答案：
B
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2?a3=2a1=a1q?=a1?a4，
∴a4=2．
∵a4与2a7的等差中项为，
∴a4 +2a7 =，
故有a7 =．
∴q3==，
∴q=，
∴a1==16．
∴S5==31．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．
9. 如图所示，点在平面外，分别是和的中点，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．
参考答案：
A
略
10. 演绎推理是（ ）
A．特殊到一般的推理 B．特殊到特殊的推理
C．一般到特殊的推理 D．一般到一般的推理
参考答案：
C
【考点】演绎推理的意义．
【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，
【解答】解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实．
故选：C．
【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，，是单位向量，且=+，则向量，的夹角等于 .
参考答案：
60°
12. 空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2，3，4），则|AB|= ．
参考答案：
3
【考点】空间两点间的距离公式．
【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为空间直角坐标系中点A和点B的坐标分别是（1，1，2）、（2，3，4），
所以|AB|==3．
故答案为：3．
13. 若椭圆=1的焦距为2，则m= ．
参考答案：
5或
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；规律型；分类讨论；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的焦点坐标所在坐标轴，求解即可得到结果．
【解答】解：当m∈（0，4）时，椭圆=1的焦距为2，可得4﹣m=1，解得m=，
当m＞4时，椭圆=1的焦距为2，可得m﹣4=1，解得m=5．
故答案为：5或．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
14. 若双曲线的离心率为，则实数m=__________．
参考答案：
2
解：由题意可得，，，
则，
解得．
15. _______.
参考答案：
略
16. 设集合，，
若，则实数a的取值范围为___________．
参考答案：
略
17. 设P是曲线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到的距离之和的最小值为 ******** .
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.
参考答案：
（1）单调递增区间是，；单调递减区间是；（2）详见解析.
【分析】
（1）当时，求得函数的导数，根据导数的符号，即可求解函数的单调区间，得到答案.
（2）由,转化为只需证明，令 ，求得函数的单调性与最值，即可作出判定.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为,
当时，， 则 .
由解得或；由解得.
所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.
（2）当时，由,只需证明.
令 ，.
设，则.
当时，，单调递减;
当时，，单调递增,
∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.
的最小值是 成立.
故成立.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
19. 已知函数f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）
（1）若函数f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；
（2）若b=﹣4a，解关于x的不等式f（x）＞﹣8．
参考答案：
解：（1）函数f（x）有最小值3，
∴a＞0，=3，
∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，
∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．
即f（1）+2a的最小值为4﹣1．
（2）当b=﹣4a时，不等式f（x）＞﹣8，可化为ax2﹣4x﹣4a+8＞0，
①当a=0时，不等式即为﹣4x+8＞0，x＜2，
②当a＞0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，
当a＞1时，x＞2或x＜﹣2，
当a=1时，x≠2，
当0＜a＜1时，x＞﹣2或x＜2，
③当a＜0时，原不等式即为（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，
∴当a＜0时不等式的解集为（﹣2，2），
当a=0时，不等式的解集为（﹣∞，2），
当1＞a＞0时，原不等式解集为（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）
当a=1时，原不等式解集为（x|x≠2，x∈R}，
当a＞1时，原不等式解集为（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）
略
20. 已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．
参考答案：
解得0
2时，ymin＝f(2)＝3－4a，
ymax＝f(0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a，－1]…10分
综上得：a<0时，所求值域为[－1,3－4a]；
0≤a≤1时，所求值域为[－(a2＋1)，3－4a]；
12时，所求值域为[－(a2＋1)，－1]。……12分
略
