安徽省安庆市光荣初级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

安徽省安庆市光荣初级中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P（3，2）向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D．0 参考答案： B 【考点】圆的切线方程． 【分析】先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果． 【解答】解：圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M（1，1），半径为1，从外一点P（3，2）向这个圆作两条切线， 则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于， 所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于， 故选B． 【点评】本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题． 2. 定义在[0,+∞)上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设，可得，可得在上单调递减，利用函数的单调性进行判断可得答案. 【详解】解：由，得 设，则，故在上单调递减，则，即，即, 故选D. 【点睛】本题主要考查导函数在函数单调性中应用，由已知设是解题的关键. 3. 已知函数,是定义在上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为(     )           A.               B.                  C．                D． 参考答案： D 4. 已知，则（   ） A. B. 3 C. －3 D. 参考答案： D 【分析】 将已知等式弦化切，求得， 分母用代替，弦化切后，将代入即可得结果. 【详解】因为， 所以， ，故选D. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角． 5. 不等式的解集为，函数的定义域为，则为（    ） A．     　   B． C． D． 参考答案： A 略 6. 下列命题正确的是（    ） A．命题，的否定是：， B．命题中，若，则的否命题是真命题 C．如果为真命题，为假命题，则为真命题，为假命题 D．是函数的最小正周期为的充分不必要条件 参考答案： D 在A中，命题，的否定是：，，故A错误； 在B中，命题中，若，则的否命题是假命题，故B错误； 在C中，如果为真命题，为假命题，则与中一个是假命题，另一个是真命题， 故C错误； 在D中，，∴函数的最小正周期为，函数的最小正周期为． ∴是函数的最小正周期为的充分不必要条件，故D正确．故选D． 6． 7. 命题“对任意,都有”的否定为(　　) A．对任意,都有 B．不存在,都有 C．存在,使得 D．存在,使得 参考答案： D 试题分析：全称命题的否定是特称命题，需将结论加以否定，因此命题“对任意,都有”的否定为：存在,使得 考点：全称命题与特称命题 8. 已知函数y=f(x+3)是偶函数，则函数y=f(x)图像的对称轴为直线          （     ） A．x =-3           B.x=0                C. x=3           D.x=6 参考答案： A 9.   参考答案： A 10. 已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当最小时，M点坐标是（    ） A．（0，0）       B.（3，2）     C.（3，－2）      D.（2，4) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________． 参考答案： a>c>b 略 12. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生600人，乙校有学生700人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了42人，则在乙校应抽取学生人数为　　． 参考答案： 49 【考点】B3：分层抽样方法． 【分析】根据分层抽样原理，列方程计算乙校应抽取学生人数即可． 【解答】解：甲校有学生600人，乙校有学生700人， 设乙校应抽取学生人数为x， 则x：42=700：600， 解得x=49， 故在乙校应抽取学生人数为49． 故答案为：49． 13. 的二项展开式中的常数项的值为______． 参考答案： 14. 某人向正东方向走了xkm，然后向右转120°，再朝新方向走了3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值是               . 参考答案： 4km 略 15. 在正项等比数列中，,，则前6项和为_________ 参考答案： 63 略 16. 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为_____． 参考答案： 如图所示，四棱锥中，可得：平面平面平面，过作于，则平面，故，在中，，设，则有，,又 ，则，四棱锥的体积取值范围为.   17. 若“使”是假命题，则实数的范围         ．　 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足， 其中a，b为常数． （1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值； （2）已知0＜a＜1，求证：； （3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；53：函数的零点与方程根的关系；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2； （2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案； （3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意； 当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）． 【解答】（1）解：由，且， 得，即， ∴a=b． 则f（x）=lnx﹣ax+，∴， 则f′（1）=1﹣2a， 又f（1）=0， ∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a． ∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2； （2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+， ∴=， 令g（x）=（0＜x＜1）， 则=＜0． ∴g（x）在（0，1）上为减函数， ∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=． ∴0＜a＜1时，； （3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=． 当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意； 当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意； 当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0． 则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0； 当x∈（）时，f′（x）＞0． 设，则x1＜1，x2＞1， ∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0， 又，∴存在，使得f（x0）=0， 又，f（1）=0， ∴f（x）恰有三个不同的零点． 综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）． 【点评】本题考查了函数性质的应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了函数最值的求法，考查了利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目． 19. 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的（e为自然对数的底数），恒成立，求a的取值范围. 参考答案： （I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II） 【分析】 （Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围. 【详解】（Ⅰ）的定义域为. . （1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； （2）当时，由解得，由解得. ∴的单调递增区间为和，单调递减区间是. （Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增， ∴恒成立，符合题意. ②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减. （i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴对任意的实数，恒成立，只需，且. 而当时， 且成立. ∴符合题意. （ii）若时，在上单调递减，在上单调递增. ∴对任意的实数，恒成立，只需即可， 此时成立， ∴符合题意. （iii）若，在上单调递增. ∴对任意的实数，恒成立，只需， 即， ∴符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 20. 设锐角三角形 的内角的对边分别为， ．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求及的面积． 参考答案： （Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ）根据余弦定理，得． 所以，． 略 21. 已知圆和直线． （1）求圆C的圆心坐标及半径． （2）求圆C上的点到直线l距离的最大值． 参考答案： 见解析． （1）圆， 转化为：， 则：圆心坐标为，半径． （2）利用（1）的结论，圆心到直线的距离． 最大距离为：． 22. 已知函数. （1）当，时，求满足的值； （2）若函数是定义在R上的奇函数. ①存在，使得不等式有解，求实数k的取值范围； ②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 参考答案： (1);(2)①;②. 分析：（1）把，代入，求解即可得答案. （2）①函数是定义在上的奇函数，得，代入原函数求解得的值，判断函数为单调性，由函数的单调性可得的取值范围. ②由，求得函数，代入，化简后得恒成立，令，，参数分离得在时恒成立，由基本不等即可求得的最大值. 详解：解：（1）因，，所以， 化简得，解得（舍）或， 所以. （2）因为是奇函数，所以，所以， 化简变形得：， 要使上式对任意的成立，则且， 解得：或，因为的定义域是，所以舍去， 所以，，所以. ① 对任意，，有：， 因为，所以，所以， 因此在上递增， 因为，所以， 即在时有解， 当时，，所以. ②因为，所以， 所以， 不等式恒成立，即， 令，，则在时恒成立， 因为，由