四川省广安市西溪中学高二数学理上学期期末试卷含解析

四川省广安市西溪中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 假设关于某设备的使用年限（年）和所支出的费用（万元），有如下表所示的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 根据上表提供的数据，求出了关于的线性回归方程为，那么统计表中的值为(   ) A.  5.5         B.  5.0      C.  4.5        D.  4.8 参考答案： A 2. 频率分布直方图中,小长方形的面积等于(     )　   A.相应各组的频数     B.相应各组的频率   C.组数      D.组距 参考答案： B 略 3. 在上定义运算:.若不等式对任意实数成立,则(       )    A.           B.               C.                 D. 参考答案： C 4. 用数学归纳法证明不等式成立，其的初始值至少应为 (      ) A．7              B．8           C．9             D．10 参考答案： B 5. 已知点（m,n）在直线上，则的最小值为（    ）  A．1     B. 2       C.        D. 4 参考答案： D 略 6. 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0 参考答案： D 【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理． 【专题】计算题． 【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立； B、当c=0时，显然不成立； C、当c=0时，显然不成立； D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立． 【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立； B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立； C、c=0时， =0，本选项不一定成立； D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0， 又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立， 故选D 【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型． 7. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，且与直线相切， 则圆的方程是 A．           B． C．        D． 参考答案： A 略 8. 从1，2，3，5这四个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数，再求出这3个数的和为奇数包含的基本事件个数，由此能求出这3个数的和为奇数的概率． 【解答】解：从1，2，3，5这四个数中，随机抽取3个不同的数， 基本事件总数n==4， 这3个数的和为奇数包含的基本事件个数m==1， ∴这3个数的和为奇数的概率p==． 故选：A． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 9. 由曲线，围成的封闭图形的面积为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 试题分析：由解得=0或=1，所以由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为==，故选A.   10. 下列不等式一定成立的是 A.             B. C.            D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为                 参考答案： 2 解:设切点，则,又 . 12. 已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ． 参考答案： 6 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，则|AB|可求． 【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：， 抛物线的准线方程为：x=﹣2， 联立，解得y=±3， ∴A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． 则|AB|=3﹣（﹣3）=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题． 13. 抛物线x2+y=0的焦点坐标为　　． 参考答案： （0，﹣） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=﹣2py 的焦点坐标为（0，﹣），求出抛物线x2+y=0的焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=， =， ∴焦点坐标是 （0，﹣）， 故答案为：（0，﹣）． 14. 空间直角坐标系中两点A（0，0，1），B（0，1，0），则线段AB的长度为　　． 参考答案： 【考点】空间两点间的距离公式． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据空间两点之间的距离公式，将A、B两点坐标直接代入，可得本题答案． 【解答】解：∵点A（0，0，1），点B（0，1，0）， ∴根据空间两点之间的距离公式，可得 线段AB长|AB|== 故答案为： 【点评】本题给出空间两个定点，求它们之间的距离，着重考查了空间两点之间距离求法的知识，属于基础题． 15. 如果a＞0，那么a++2的最小值是　    　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a＞0， ∴a++2≥2+2=4，当且仅当a=1时取等号． ∴a++2的最小值是4． 故答案为：4． 16. 若某同学把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法共有      _______________种（以数字作答）. 参考答案： 359  略 17. 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n=　　． 参考答案： 6×（2n﹣1） 【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理． 【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）． 当x∈[2，4）时，∈[1，2）， f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4）， f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|， 同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6， 依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1． ∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1）， 故答案为：6×（2n﹣1）． 【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，B=45°，AC=，cosC=，求BC的长． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】如图所示，过A作AD⊥BC，可得出三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，在直角三角形ADC中，由cosC的值求出sinC的值，利用正弦定理求出AD的长，进而利用勾股定理求出DC的长，由BD+DC即可求出BC的长． 【解答】解：如图所示，过A作AD⊥BC， 在Rt△ABD中，B=45°， ∴△ABD为等腰直角三角形，即AD=BD， 在Rt△ADC中，cosC=， ∴sinC==， 由正弦定理=，即AD==， 利用勾股定理得：DC==2， 则BC=BD+DC=AD+DC=3． 【点评】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 19. （本题9分） 已知函数，是的导函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值. 参考答案： 解：（1）    （2） 略 20. （12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）、求的值； （2）、若，，求的值. 参考答案： 解：（1）、   （2）、，则   将，，代入余弦定理：中 得解得b＝     21. 已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上． （Ⅰ）求圆N的方程； （Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程． （Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（Ⅰ）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （Ⅱ）求出N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5），即可得到圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程； （Ⅲ）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有，解得：a=2． 于是圆N的圆心N（2，4），半径． 所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．（5分） （Ⅱ）N（2，4）关于x﹣y+3=0的对称点为（1，5）， 所以圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣5）2=10（9分） （Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得：． 又点D在圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10， 化简得：． 故所求的轨迹方程为．（13分） 【点评】本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题． 22. 已知z∈C，|1﹣z|+z=10﹣3i，若z2+mz+n=1﹣3i． （1）求z； （2）求实数m，n的值． 参考答案： 【考点】复数求模；复数代数形式的混合运算． 【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），代入|1﹣z|+z=10﹣3i，整理后由复数相等的条件列