浙江省宁波市第五高中高三数学理测试题含解析

浙江省宁波市第五高中高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是 A. B. C. D. 参考答案： B 2. 设的最小正周期为，且对任意实数都有，则 (A)在上单调递减          (B)在上单调递减 (C) 在上单调递增         (D)在上单调递增 参考答案： B 3. 若x＞0，y＞0，则的最小值为(     ) A． B．1 C． D． 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】平方后利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵x＞0，y＞0，∴t=＞0． ∴=， ∴，当且仅当x=y时取等号． ∴的最小值为． 故选：C． 【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题． 4. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在[0, +∞﹚上是减函数，，那么不等式的解集是                                                      （    ）     A．                         B．     C．                       D． 参考答案： B 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度       B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度       D. 向右平移个单位长度 参考答案： D 6. 设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2⊥x轴，|PF2|=，|PF1|=，计算即可所求值． 【解答】解：椭圆=1的a=3，b=，c==2， 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6， 由中位线定理可得PF2⊥x轴， 令x=2，可得y=±?=±， 即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=， 则=． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题． 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）1（B）－1  （C）0  （D）－2 参考答案： B 8. 已知函数f(x)＝|ln x|，若 >a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是(  )． A．f(c)>f(b)>f(a)  B．f(b)>f(c)>f(a)   C．f(c)>f(a)>f(b)  D．f(b)>f(a)>f(c) 参考答案： C 9. 若集合，且，则集合可能是          A．　           B．　    C．　      D．  参考答案： A 因为，所以，因为，所以答案选A. 10. 半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 A.  －2           B.   －1            C.  0                 D.  2 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及 其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是                   。 参考答案： y2=3x  略 12. 函数f(x)＝x＋sinx(1－cosx)的图象在点(π，π)处的切线方程是          。 参考答案： 13. 我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a24+a25=　   　；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第　  　项． 参考答案： 28，640． 【考点】数列递推式． 【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第8个5在该数列中所占的位置． 【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3… ∴a24+a25=3+25=28． 又因为a5=5，a10=5，a20=5，a40=5… 即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列． 所以第8个5是该数列的第5×28﹣1=640项． 故答案为：28，640． 14. 已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为     ▲    ． 参考答案： 1 15. 已知幂函数___________ 参考答案： 16. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, △P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1·e2 的取值范围为        。 参考答案： 17. 不共线的两个向量，且与垂直，垂直，与的夹角的余弦值为_______________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A症状的概率为. 为了研究连续服用该药物后出现A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现A症状的出现与上次用药无关. （Ⅰ）如果出现A症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率； （Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为，求的期望. 参考答案： 见解析 【考点】随机变量的期望与方差独立重复试验某事件发生的概率 【试题解析】 解： （Ⅰ）设持续天为事件，用药持续最多一个周期为事件， 所以， 则.                  法二：设用药持续最多一个周期为事件，则为用药超过一个周期， 所以,                                     所以.                                     （Ⅱ）随机变量可以取， 所以, ,             所以.  19. （2017?衡阳一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：x2+（y﹣t）2=r2（t＞0，r＞0）经过椭圆C：的左右焦点F1，F2，与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线． （Ⅰ）求圆E的方程； （Ⅱ）设与直线OA平行的直线l交椭圆C于M，N两点，求△AMN的面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由三角形的中位线定理，求得丨AF2丨，再由椭圆的定义，丨AF1丨=2a﹣丨AF2丨，根据勾股定理即可求得t的值，由EF1为半径，即可求得r的值，求得圆E的方程； （Ⅱ）设直线l的方程为y=+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式和基本不等式的性质，即可求得△AMN的面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：，长轴长2a=4，短轴长2b=2，焦距2c=2 因为F1，E，A三点共线，则F1A为圆E的直径，F2在圆E上， 则AF2⊥F1F2，所以OE为三角AF1F2中位线， 由E（0，t），则丨AF2丨=2t， 则丨AF1丨=2a﹣丨AF2丨=4﹣2t， 由勾股定理可知：丨AF1丨2=丨F1F2丨2+AF2丨2，即（4﹣2t）2=（2）2+（2t）2， 解得：t=， 半径r==， ∴圆E的方程x2+（y﹣）2=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，点A的坐标为（，1），所以直线OA的斜率为，…6分 故设直线l的方程为y=+m， 联立，得x2+mx﹣m2﹣2=0．，…7分 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以x1+x2=﹣m，x1?x2=m2﹣2， △=2m2﹣4m2+8＞0，所以﹣2＜m＜2，…8分 又丨MN丨=?丨x1﹣x2丨， =?=，…9分 因为点A到直线l的距离d=，…10分 所以S△AMN=丨MN丨?d=??， =≤×=， 当且仅当4﹣m2=m2，即m=±时等号成立， ∴△AMN的面积的最大值． 此时直线l的方程为y=x±．…12分 【点评】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题． 20. 已知数列{}的前n项和为，满足   （1）证明:数列{+2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；   （2）若数列{}满足，设是数列的前n项和，求证： 参考答案： 证明：（1）由得：Sn=2an－2n 当n∈N*时，Sn=2an－2n，①          则当n≥2, n∈N*时，Sn－1=2an－1－2(n－1).  ②                 ①－②，得an=2an－2an－1－2，          即an=2an－1+2，          ∴an+2=2(an－1+2)                         ∴          当n=1 时，S1=2a1－2，则a1=2，         ∴ {an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列.……5分 ∴an+2=4·2n－1， ∴an=2n+1－2，    （2）证明：由         则③             ，④          ③－④，得                                所以： . 21. (12分)已知是数列的前项和,且对任意,有.记.其中为实数,且.   (1)当时,求数列的通项;   (2)当时,若对任意恒成立,求的取值范围. 参考答案：     时,  ∴  时相减     ∴.     则:  ∴   (1)时,   ∴   (2)由 ∴     则:     1°当时,, ,     ∴递增,而  ∴只需, ∴     2°当时,符合条件     3°当时,,     ∴递减. 成立.     综上所述. 22. (12分)已知,设. (1)求函数的最小正周期；   (2)当时,求函数的最大值及最小值. 参考答案： 解析：(1) = = == ==. ∴的最小正周期． (2) ∵,  ∴. ∴当,即=时,有最大值; 当,即=时,有最小值-1．