江苏省淮安市红窑中学高三数学文月考试题含解析

江苏省淮安市红窑中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： C 【考点】两角和与差的正弦函数． 【专题】三角函数的求值． 【分析】首先利用诱导公式，化为同角的三角函数，然后逆用两角和与差的正弦函数公式求值． 【解答】解：原式=sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=； 故选C． 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式以及两角和与差的三角函数公式的运用；熟悉公式的特点，熟练运用． 2. 不等式的解集为 （    ） A．     B．   C．  D． 参考答案： 3. 设第一象限内的点（）满足若目标函数的最大值是4，则的最小值为 （A）3             （B）4              （C）8             （D）9 参考答案： 4. 等差数列满足:,则=（    ）        A．          B．0         C．1       D．2 参考答案： B 5. 已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（　　） 　 A． 1 B． C． D． 3 参考答案： 分析： 根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论． 解答： 解：∵z=i（2﹣i）=2i+1， ∴|z|=， 故选：C． 点评： 本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础． 6. 已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是              (     ) Ａ.　　　　　Ｂ.   　　　　Ｃ.　　　　Ｄ. 参考答案： C 略 7. 函数的零点个数为（   ） （A）（B）（C）（D） 参考答案： B 由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B. 8. 设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和=（   ）      (A)        (B)        (C)       (D) 参考答案： C 化简可得：，即， ，，选C. 9. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是 (A)                         (B) (C) 或         (D) 或 参考答案： 【知识点】抛物线的标准方程．H7 D  解析：设抛物线方程为，代入点可得，， 解得，则抛物线方程为， 设抛物线方程为， 代入点可得，解得， 则抛物线方程为， 故抛物线方程为或． 故选：D． 【思路点拨】设抛物线方程分别为，或，代入点，解方程，即可得到m，n．进而得到抛物线方程． 10. 已知椭圆E的中心在原点，一个焦点为F（1，0），定点A（﹣1，1）在E的内部，若椭圆E上存在一点P使得|PA|+|PF|=7，则椭圆E的方程可以是（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】通过记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤4；利用|PF1|≥|PA|﹣|AF1|可知a≥3，进而可得结论． 【解答】解：记椭圆的左焦点为F1（﹣1，0），则|AF1|=1， ∵|PF1|≤|PA|+|AF1|， ∴2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+7=8， 即a≤4； ∵|PF1|≥|PA|﹣|AF1|， ∴2a=|PF1|+|PF|≥|PA|﹣|AF1|+|PF|≥7﹣1=6， 即a≥3， ∴9≤a2≤16， 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，利用三角形的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}满足，，则当时，an=　　． 参考答案： 解：数列满足，   ，， 则， ， ， ， 由此可得当时，． 故答案为：． 12. 从红、黄两色分别印有A、B、C、D的8张卡片中任取4张，其中字母不同且颜色齐全的概率为    ▲   ． 参考答案：      13. 已知函数，若，则函数恒过定点          ． 参考答案： (1,3) ∵， ∴函数图象的对称轴为， ∴，即， ∴． 在中，令，则． ∴函数的图象恒过定点(1,3)．   14. 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n＝        ． 参考答案： 80 15. 设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为                  。 参考答案： {2} 16. 已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为____________. 参考答案： 略 17. 有下列命题：①圆与直线，相交； ②过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= 8 ③已知动点C满足则C点的轨迹是椭圆； 其中正确命题的序号是___       _____ 参考答案： ② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值； （3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）由（1）可得f（x）的最小值为﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2； （3）求出g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．求得导数g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2，化简整理可得m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】解：（1）f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣=，x＞0， 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增； 当a＞0时，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减； （2）当a＞0时，由（1）可得x=处f（x）取得极小值， 也为最小值，且为﹣ln， 由题意可得﹣ln=1， 令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx， 当x＞1时，h′（x）＜0，g（x）递减； 当0＜x＜1时，h′（x）＞0，g（x）递增． 即有x=1处h（x）取得极大值，且为最大值1， 则﹣ln=1的解为a=2； （3）证明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0． g′（x）=2x﹣2﹣=， 由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根， 即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0， x1+x2=1，x1x2=﹣， g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2 =（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2） =1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1， 令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0， 可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0， 即有m（a）在（﹣，0）递增，可得m（a）＞m（﹣）， 由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣． 则有g（x1）+g（x2）＞﹣． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和构造函数的思想，同时考查二次方程的韦达定理的运用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 19. （本题满分18分） 设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于). （1）若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程； （2）若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由； （3）对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切. 参考答案： （1）， 代入 当时，点 在圆上 （2）在椭圆上，即 可设 又，于是 （令）点在双曲线上 （3）圆的方程为 设由   又 ， 又原点到直线距离 ，即原点到直线的距离恒为 直线恒与圆相切. 20. 甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为。 （1）求甲恰好得30分的概率； （2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望； （3）求甲恰好比乙多30分的概率. 参考答案： （I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为， （II）的取值为0，10， 30，60. ，，　  ， 0 10 30 60 的概率分布如下表： 　　　　　 （III）设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1, 甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A=为互斥事件. 　　　　　 . 　所以，甲恰好比乙多30分的概率为 略 21. 函数，其中，若的解集为． （1）求a的值； （2）求证：对任意，存在，使得不等式成立． 参考答案： （1）；（2）见证明． （1）由题意知不满足题意，当时，由得， ∴，则，则． （2）设， 对于任意实数，存在，使得不等式， 只需， ∵，当时，， 由，仅当取等号． ∴原命题成立． 22. （1）已知关于x的不等式3x﹣|﹣2x+1|≥a，其解集为[2，+∞），求实数a的值； （2）若对?x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）解绝对值不等式，根据解集得出a的值； （2）不等式可转化为|x﹣a|≥x﹣1≥0，可采用两边平方的方法去绝对值，再对a进行分类讨论得出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由3x﹣|﹣2x+1|≥a得：|2x﹣1|≤3x﹣a， ∴﹣3x+a≤2x﹣1≤3x﹣a 得：，故a=3… （Ⅱ）由已知得|x﹣a|≥x﹣1≥0， ∴（x﹣a）2≥（x﹣1）2… ∴（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0， a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立… a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得a≥2x﹣1， 从而a≥3… a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得a≤2x﹣1，