广东省江门市公侨中学高三数学文下学期期末试题含解析

广东省江门市公侨中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点A，C，E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，，，平面，平面，平面交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图，以下四个结论①；②；③B，M，N，D四点共面；④异面直线与所成角的大小为．其中正确的个数是（    ）．             A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 不妨设正六边形的边长为1，①由已知可得与都是边长为的等边三角形，即可判断出正误；②由①可知：，即可判断出正误；③由已知可得：四边形是平行四边形，即可判断出正误；④利用异面直线与所成角的范围即可判断出正误． 【详解】由题意，不妨设正六边形的边长为1， ①由与都是边长为的等边三角形，∴，正确； ②由①可知：，因此②不正确； ③由已知可得：四边形是平行四边形，因此，，，四点共面，正确； ④异面直线与所成角不可能为钝角．因此不正确． 其中正确的个数是2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，平面的基本性质，以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力． 2. 关于函数，下列结论中不正确的是 （A）在区间上单调递增   （B）的一个对称中心为 （C）的最小正周期为   （D）当时,的值域为 参考答案： D 略 3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1 参考答案： D 【分析】 先求出，然后将对数式换为指数式求再求 【详解】两颗星的星等与亮度满足 , 令 ， ， ， ， 故选D.   4. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（   ） A．          B．       C．       D． 参考答案： D 5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 6. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数，且，，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D  【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 解析：因为且，即在是增函数，所以.而在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围是. 【思路点拨】由已知可得在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围是. 7. 已知球O的内接圆柱的体积是2π，底面半径为1，则球O的表面积为（　　） A．6π B．8π C．10π D．12π 参考答案： B 【考点】球的体积和表面积． 【分析】圆柱的底面半径为1，根据球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，确定球的半径，进而可得球的表面积． 【解答】解：由题意得，圆柱底面直径为2，球的半径为R， 由于球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2， 则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径， 即2=2R，∴R=， ∴球的表面积=4πR2=8π， 故选：B． 【点评】本题考查球内接多面体与球的表面积的计算，正确运用公式是关键，属于基础题． 8. 函数，则的图象大致是(    ) A．              B． C．              D． 参考答案： C 9. 已知集合，集合，则、满足      （    ）      A．                B．               C．               D．且 参考答案： B 10. 给定两个向量=（1，2），=（x，1），若（）与（）平行，则x的值等于   A．1           B．         C．2         D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于三次函数（），定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．” 请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为          ； 计算=                  . 参考答案： ; 2012 12. 设是实数，成等比数列，且成等差数列，则的值是 　　▲　　。 参考答案： 略 13. .已知三点，若为锐角，则的取值范围是          ． 参考答案： 14. 函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是　　． 参考答案： [﹣2，1] 略 15. 函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，             ，数列的通项公式为         ． 参考答案： 5， 略 16. 如果 参考答案： 17. 已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为           参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，n∈N*． （1）证明数列{an}是等比数列，并写出通项公式； （2）若对n∈N*恒成立，求λ的最小值； （3）若成等差数列，求正整数x，y的值． 参考答案： 解：（1）因为， 其中Sn是数列{an}的前n项和，Tn是数列的前n项和，且an＞0， 当n=1时，由， 解得a1=1，…（2分） 当n=2时，由， 解得； …（4分） 由， 知， 两式相减得， 即，…（5分） 亦即2Sn+1﹣Sn=2，从而2Sn﹣Sn﹣1=2，（n≥2）， 再次相减得，又， 所以 所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分） 其通项公式为，n∈N*．…（8分） （2）由（1）可得， ，…（10分） 若对n∈N*恒成立， 只需=3×=3﹣对n∈N*恒成立， ∵3﹣＜3对n∈N*恒成立，∴λ≥3． （3）若成等差数列，其中x，y为正整数， 则成等差数列， 整理，得2x=1+2y﹣2， 当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1， 等式不能成立， ∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2． 略 19. 已知函数. （Ⅰ）从区间内任取一个实数，记“函数在区间上有两个不同的零点”为事件，求事件发生的概率； （Ⅱ）若连续掷两次正方体骰子得到的点数分别为和，记“在恒成立”为事件，求事件发生的概率.   参考答案： 解：（Ⅰ）函数在区间上有两个不同的零点， ，即有两个不同的正根和    ………………………………………………………4分   …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知：，所以，即 ， 在恒成立  ……  ……………………………8分 当时，适合；    当时，均适合；    当时，均适合； 满足的基本事件个数为. ………………………………………………10分 而基本事件总数为，……………………………………………………………11分 .   ………………………………………………………………………12分 略 20. （本小题13分）在数列中，（）． （1）求的值； （2）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1），； （2）假设存在满足条件的常数，则常数 又   此时         ． 21. 设向量，其中x∈． （Ⅰ）若∥，求x的值； （Ⅱ）设函数f（x）=（+）?，求f（x）的最大值． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：（I）根据，利用向量平行的条件建立关于x的等式，算出sinx（）=0，结合x∈（0，）可得，从而算出x的值； （II）根据向量数量积计算公式与三角恒等变换，化简得f（x）=（+）?=sin（2x﹣）+．再根据x∈（0，）利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得x=时，f（x）的最大值等于． 解答： 解：（I）∵， ∴由得， 即sinx（）=0． ∵x∈（0，）， ∴sinx＞0，可得， ∴tanx==， 解得x=； （II）∵， ∴f（x）=（+）?=（）cosx+2sin2x =sin2x+（1+cos2x）+（1﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+． ∵x∈（0，）， ∴2x﹣∈（﹣，）， ∴sin（2x﹣）∈（﹣，1]， ∴f（x）∈（1，] 当且仅当2x﹣=即x=时，f（x）的最大值等于． 点评：本题着重考查了向量平行的条件、向量的数量积计算公式、同角三角函数的基本关系、三角性质变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题． 22. 给定椭圆（），称圆为椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆过点，离心率为． （I）求椭圆的方程； （II）若直线与椭圆交于两点，与其“伴随圆”交于两点，当 时， 求面积的最大值． 参考答案： 1） 2) ,令，当时