河南省驻马店市泌阳县太山中学高二数学文测试题含解析

河南省驻马店市泌阳县太山中学高二数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（  ） A．   B．  C．   D． 参考答案： C 略 2. 设集合A=｛x|1＜x＜2｝，B=｛x|x＜a｝满足A B，则实数a的取值范围是（  ）  A．｛a｜a ≥2｝       B．｛a｜a≤1｝    C.｛a｜a≥1｝．    D.｛a｜a≤2｝． 参考答案： A 3. 在直角△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点（左图），将∠ABD沿BD折起，使得AB⊥CD（右图），则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】二面角的平面角及求法． 【分析】由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A﹣BD﹣C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cos∠AEO=，利用互补得出二面角A﹣BD﹣C的余弦值为． 【解答】解：过A作AE⊥BD，在原图延长角BC与F， 过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M， ∵在△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点， AB=，BD=AC， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD⊥AE，BD⊥EF， ∴∠AEF为二面角A﹣BD﹣C的平面角， 过A作AO⊥面BCD，垂足为O， ∵面AEF⊥面BCD， ∴O在EF上， 理解BO交CD延长线于M， 当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理可知：MB⊥CM， ∴O为翻折之前的三角形ABD的中心， ∴OE=AE， cos∠AEO=， ∴cos∠AEF=， 故选：A 　 4. 若圆上有且只有三个点到直线的距离等于1，则半径等于(     ) A．1              B．2            C．3               D．4 参考答案： C 5. 在△ABC中，a=6，b=4，C=30°，则=(         )。 A. 12             B. 6              C.         D.    参考答案： B 6. 已知点是直线上的任意一点，则的最小值为 A.               B. C.    　　   D. 参考答案： A 略 7. 下列命题中，真命题是　(　　) A.若a＞b，则ac＞bc          B.命题“若a2＜b2，则a＜b”的逆否命题 C.若λ=，则=且λ=0   D.命题“∥，∥，则∥一定成立”的否定 参考答案： D 8. 已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形为平行四边形，轴，为边的中点，则平行四边形的面积为（  ） A. 8 B. 16 C. D. 参考答案： C 【分析】 由几何体的三视图可得， ，再由斜二测画法求面积即可得解. 【详解】解：由正视图与题意知，由侧视图与题意知，所以平行四边形的面积为. 故选C. 9. 已知等差数列的公差，，那么（  ） A．80   B．120   C．135 D．160． 参考答案： C 10. 复数等于 A.            B.              C.              D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 与双曲线有共同的渐近线，并且经过点的双曲线            。 参考答案： 12. 不等式的解集是，则a＋b的值是________. 参考答案： 略 13. 函数的定义域为          ． 参考答案： 14. 如右图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为             .   参考答案： 60° 略 15. P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可． 【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4 ∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点， ∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8 在△PF1F2中，cos∠F1PF2= = ===cos60°= ∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12 又∵在△F1PF2中， =|PF1||PF2|sin∠F1PF2 ∴=×12sin60°=3 故答案为3 16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　 　． 参考答案： 1和3 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【答案】 【解析】 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3． 故答案为：1和3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口． 17. 已知函数f（x）= ，若函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为　     　． 参考答案： （，﹣2]∪（0，] 由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1）， 分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图： 由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线， 当h（x）过（1，1）时，m=，此时两个函数有两个交点， 此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤， 当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点， 当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时x﹣3=m（x+1）即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0， 当m=0时，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切， ∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤． 故答案为：（，﹣2]∪（0，]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{bn}的 前n项和为Tn，且Tn＝1－bn. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn＋1的大小．并且用数学归纳法给出证明 参考答案： 略 19. （本题满分14分） 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点． （Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？ 证明你的结论． 参考答案： 法一：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系，设，则，，， 设 是平面BDE的一个法向量， 则由  ，得 取，得． ∵，  （Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量．                                  设二面角的平面角为，由图可知 ∴． 故二面角的余弦值为． （Ⅲ）∵∴ 假设棱上存在点，使⊥平面，设， 则， 由得 ∴ 即在棱上存在点，，使得⊥平面． 法二：（Ⅰ）连接，交于，连接．在中，为中位线， ,//平面． （Ⅱ）⊥底面, 平面⊥底面，为交线,⊥ 平面⊥平面，为交线, =，是的中点⊥ ⊥平面， ⊥ 即为二面角的平面角． 设，在中, 故二面角的余弦值为 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面内过作⊥，连EF，则⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在点，，使得⊥平面 20. 已知点A(2，a)，圆C：(x－1)2＋y2＝5。 (I)若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程； (II)设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值。 参考答案： 21. （本小题满分14分）已知函数在上是增函数，在上为减函数. （1）求的表达式； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的值； （3）是否存在实数使得关于的方程在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数的取值范围. 参考答案： （3）若存在实数b使得条件成立， 方程f(x)=x2+x+b 即为x-b+1-ln(1+x)2=0, 令g(x)=x-b+1-ln(1+x)2, 则g′(x)=1-=, 令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1, 令g′(x)＜0,得-1＜x＜1, 故g(x)在［0，1］上单调递减，在［1，2］上单调递增，要使方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，只需g(x)=0在区间［0，1］和［1，2］上各有一个实根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3, 故存在这样的实数b,当2-2ln2＜b≤3-2ln3时满足条件. 22. 数列{an}中，，. （1）求{an}的通项公式； （2）设，求出数列{bn}的前n项和. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 (1)直接根据累加法即可求得数列的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列的前项和。 【详解】（1）因为，所以当时： ， 由于满足，所以求的通项公式为。 （2）因为， 所以数列的前项和为： 。 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查学生对于累加法以及裂项相消法求和的理解与使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。