2022-2023学年江苏省常州市市第二十四高级中学高二数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年江苏省常州市市第二十四高级中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （4-4：坐标系与参数方程）已知直线l的参数方程为（为参数），直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（   ） A．(3,－3)            B．          C．       D． 参考答案： C 直线（t为参数），即， 代入圆化简可得， ，即AB的中点的纵坐标为3， 的中点的横坐标为， 故AB的中点的坐标为，故选C.   2. 已知直线过点和点，则直线的斜率的最大值为 ．      ．         ．       ．    参考答案： ．    数形结合法：设，则点是圆上的动点， 过点，的直线的斜率的最大值为直线与圆相切时的斜率的最大值； 设切线方程为即，则圆心到直线的圆距离为； 即或舍去；故选． 3. 已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（　　） A． B． C．π D． 参考答案： C 【考点】定积分． 【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问 【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1， 则f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2． ∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}， N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}． 故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形， 其面积为圆面积的一半，即为π． 故选：C． 4. 函数的单调递增区间是（   ） A．         B．(2,+∞)       C.         D． 参考答案： D 5. 数列的前项和为，若，则等于（    ） A．1             B．              C．              D． 参考答案： B 略 6. 如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′?平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列说法，不正确的是（　　） A．平面A′FG⊥平面ABC B．BC∥平面A′DE C．三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为 D．直线DF与直线A′E有可能异面 参考答案： D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】在A中，推导出DE⊥GA′，DE⊥GF，从而面A′FG⊥面ABC；在B中，由BC∥DE，得BC∥平面A′DE；在C中，当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′﹣DEF 的体积取最大值a3；在D中，在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面． 【解答】解：在A中，由已知可得四边形ABCD 是菱形， 则DE⊥GA′，DE⊥GF， ∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，在A正确； 在B中，∵BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，故B正确； 在C中，当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′﹣DEF 的体积达到最大， 最大值为××a2×a=a3，故C正确； 在D中，在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面，故D不正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 7. 若a∈(0,)，且sin2a+cos2a=，则tana的值等于 (     )    A．            B.            C.            D. 参考答案： D 8. 已知数列{an}满足递推关系：，，则＝（　　） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 对递推关系式取倒数，可证得数列是以2为首项，1为公差的等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】由得：，即 又，则 数列是以2为首项，1为公差的等差数列     本题正确选项： 【点睛】本题考查倒数法求解数列通项公式的问题，关键是能够通过取倒数的方式能够得到等差数列，从而利用等差数列的知识来进行求解. 9. 如图,平行四边形ABCD中,, 点M在AB边上,且等于（   ）． （A）    （B）1        （C）     （D） 参考答案： B 略 10. 在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为        （     ） A. 和       B. 和 C.和        D. 和 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；若有一个交点，则的取值范围是________；若有两个交点，则的取值范围是_______； 参考答案： ,；曲线代表半圆 12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ②已知圆上一定点和一动点，为坐标原点，若则动点的轨迹为圆； ③，则双曲线与的离心率相同； ④已知两定点和一动点，若，则点的轨迹关于原点对称.                     其中真命题的序号为         （写出所有真命题的序号）. 参考答案：   13. 代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得=　  　． 参考答案： 3 【考点】类比推理． 【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根）， 可得要求的式子． 令=m（m＞0）， 则两边平方得，6+═m2， 即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）． 故答案为：3． 　 14. 已知正四棱锥V－ABCD的棱长都等于a，侧棱VB、VD的中点分别为H和K，若过A、H、K三点的平面交侧棱VC于L，则四边形AHLK的面积为_______________. 参考答案： 15. 大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是_______. 参考答案： 略 16. 转化为十进制为___________，转化为二进制为___________。 参考答案： 78， 1001110 17. 在1与2之间插入10个数使这12个数成等差数列，则中间10个数之和为__▲________. 参考答案： 15 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知向量， (1）求的最大值和最小值； (2）若，求k的取值范围。 参考答案： （1）   (2）由 19. 如图：已知直线与抛物线交于两点，且，交于点，点的坐标为. (1) 求的值； (2) 求的面积. 参考答案： 解（1）         又      直线的方程为. 设,,则由 又 联立方程   消可得     ① ,    当时，方程①成为       显然此方程有解. (2)法一:由  . .   法二: 后面做法同法一. 略 20. （本小题满分14分） 如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为. (1)求该抛物线的方程； (2)如果过的直线交抛物线于、两点，且，求直线的倾斜角的取值范围． 参考答案： 解：（1）设，根据抛物线定义知：          故，， 抛物线方程为：                   ……………6分 （2）①当直线轴时：方程：      此时,    与 矛盾；    ……………8分 21. 已知数列的前项和为，且，设． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）设，，若数列的前项和为，求不超过的最大的整数值． 参考答案： 22解：（Ⅰ）因为，所以   ①当时，，则，……………………1分 ②当时，， 所以，即， 所以，而，……………………3分 所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，．……………6分 所以  ①， ②， ②-①得：， ．………………8分 （Ⅲ）由(1)知   ，………10分 所以 故　不超过的最大整数为．…………………………12分   略 22. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。 参考答案： 解：延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线与所成的角。 在Rt△BE1F中，. 在Rt△D1DE1中, 在Rt△D1DF中, 在△E1FD1中,由余弦定理得：  ∴直线与所成的角的余弦值为.