湖南省郴州市寨前中学高二数学文下学期期末试题含解析

湖南省郴州市寨前中学高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数对于满足的任意，，给出下列结论： ①；                   ②； ③．        ④ 其中正确结论的个数有      A．                  B．                  C．             D． 参考答案： B 2. 不等式组的区域面积是(     ) A．     B．   C．     D．  参考答案： D  解析： 画出可行域 3. 在一个样本容量为30的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，则中间这组的频数为 （A） （B） （C）6 （D）24 参考答案： C 4. 若<α<2π,则直线+=1必不经过(　 ) A.第一象限   B.第二象限     C. 第三象限       D.第四象限 参考答案： B 略 5. 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．12种         B．18种         C．36种            D．54种 参考答案： B 略 6. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a、b，则椭圆+=1 （a＞b＞0）的离心率e=的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式． 【分析】利用椭圆的离心率e=，得到a=2b，列举符合a=2b的情况得到满足条件的事件数，根据概率公式得到结果． 【解答】解：∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果 满足条件的事件是e==， 可得a=2b，符合a=2b的情况有：当b=1时，a=2，b=2；a=3，b=3；a=4；6种情况； 总事件共有36种情况． ∴概率为=． 故选：C． 7. 已知全集U={－1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={0，2}，则（CUA）∩B=（    ） A．φ  B．{0} C．{2}  D．{0，1，2} 参考答案： B 8. 设实数a、b、c满足a+b+c=1，则a、b、c中至少有一个数不小于（　　） A．0 B． C． D．1 参考答案： B 【考点】反证法的应用． 【分析】根据题意，通过反证法，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论． 【解答】解：假设a、b、c都大于，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾． 假设a、b、c都小于，则a+b+c＜1，这与已知a+b+c=1矛盾． 故a、b、c中至少有一个数不小于． 故选：B． 9. 若成等比数列，则关于的方程(    )  必有两个不等实根                  必有两个相等实根       必无实根                          以上三种情况均有可能   参考答案： C 10. 如果关于x的不等式（a﹣2）x+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2） 参考答案： C 【考点】函数恒成立问题． 【专题】综合题；转化思想；判别式法；函数的性质及应用． 【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解． 【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立， 当a=2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立； 当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立， 则，解得：﹣2＜a＜2． 综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]． 故选：C． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在长为5的线段上任取一点,以为邻边作一矩形,则矩形面积大于的概率为         . 参考答案： .  12. 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为  ▲  ． 参考答案： 黑白两个球随机放入编号为的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有，所以黑白两球均不在一号盒的概率为，故答案为.   13. 五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数为2，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2013个被报出的数为       参考答案： 2 略 14. 曲线在点（1,1）处的切线方程为___________. 参考答案： 略 15.             . 参考答案： 16. 在中，已知，∠A＝120°，，则∠B＝ 。 参考答案： 30°（） 17. 数列的前n项和是          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【专题】规律型． 【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围． 【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立， 若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立． 若a≠0，则满足条件， 即，解得，即a＞2，所以p：a＞2． ∵g（x）=3x﹣9x=﹣（）， ∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立， 则a，即q：a． 要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题． 当p，q都为真命题时，满足，即a＞2， ∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2， 即实数a的取值范围是a≤2． 【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧． 19. 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】直线与圆． 【分析】（Ⅰ）将圆的方程化为标准方程，利用圆关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第四象限，半径为，建立方程组，即可求圆C的方程； （Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，利用直线l与圆C相切，建立方程，即可求出直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0得： ∴圆心C，半径， 由题意，，解之得，D=﹣4，E=2 ∴圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y+3=0… （Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心C（2，﹣1），设直线l在x轴、y轴上的截距分别为2a，a． 当a=0时，设直线l的方程为kx﹣y=0，则 解得，此时直线l的方程为… 当a≠0时，设直线l的方程为即x+2y﹣2a=0， 则，∴，此时直线l的方程为… 综上，存在四条直线满足题意，其方程为或… 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题． 20. 已知圆C的方程为x2＋y2＝4. （1）直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程； （2）圆C上一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程． 参考答案： (1)①若直线l垂直于x轴，则此直线为x＝1，l与圆的两个交点坐标分别为 (1，)和(1，－)，这两点间的距离为2，符合题意． ②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1) 即kx－y－k＋2＝0 设圆心到此直线的距离为d ∵2＝2∴d＝1 ∴1＝解得k＝ 故所求直线方程为3x－4y＋5＝0 综上所述所求直线方程是x＝1或3x－4y＋5＝0. (2)设Q点坐标为(x，y) ∵M点的坐标是(x0，y0)，＝(x0，y0)，＝(0，y0)，＝＋ ∴(x，y)＝(x0,2y0)∴ ∵x02＋y02＝4∴x2＋()2＝4.即＋＝1， ∴Q点的轨迹方程是＋＝1. 21. 在区间内任取两个数（可以相等），分别记为和， (1)若、为正整数，求这两数中至少有一个偶数的概率； (2)若、，求、满足的概率. 参考答案： 解：(1)当为正整数，同时抛掷两枚骰子，等可能性的基本事件共36个，如下： 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、； 、、、、、. 记“两个数中至少有一个为偶数”为事件A，包含上述基本事件的个数为27，由古典概型可知.                                             分 (2)当时，记事件总体为，所求事件为B，则有， B：，对应的区域为正方形，其面积为，B对应的区域为四分之一圆，其面积为，由几何概型可知.                                       分   22. （本小题满分13分） 数列是首项为1的等差数列，且公差不为零.而等比数列的前三项分别是. （1）求数列的通项公式； （2）若，求正整数的值. 参考答案： （1）,；（2）4. （1）设数列的公差为，∵  成等比数列， ∴      ∴        ∴        ∵          ∴  ，                …………………（4分） ∴                 …………………（6分） （2）数列的首项为1，公比为，      …………………（8分） .故，           …………………（10分） 令 ，即 ，解得：. 故正整数的值为4.                          …………………（13分）